5 Suponga que tenemos dos números naturales $x , y \le 100!$ con valores indeterminados. Demuestre que existen números naturales $m , n$ tales que los valores de $x , y$ quedan determinados de manera única a partir del valor de $\varphi(d(my))+d(\varphi(nx))$ . (Para cada número natural $n$ , $d(n)$ es el número de sus divisores positivos y $\varphi(n)$ es el número de los números menores que $n$ que son coprimos con $n$ . ) Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR

6 Sea $A_1A_2...A_{99}$ un $99-$ágono regular y sea el punto $A_{100}$ su centro. Halle el menor número natural posible $n$ tal que Parsa pueda colorear todos los segmentos $A_iA_j$ ( $1 \le i < j \le 100$ ) con uno de $n$ colores de modo que no haya dos segmentos del mismo color que se intersequen entre sí o compartan un vértice. Propuesto por Josef Tkadlec - República Checa Shayan-TayefehIR

2 En un triángulo acutángulo $ABC$, las alturas $BE,CF$ se cortan en $H$. Se traza una recta perpendicular desde $H$ a $EF$ que corta al arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ (el que no contiene a $A$) en $K$. Si $AK,BC$ se cortan en $P$, demuestre que $PK=PH$.

G6 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$ . Los puntos $D,E$ y $F$ sobre los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente son tales que $BD+BF=CA$ y $CD+CE=AB$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFD$ y $CDE$ se cortan en $P \neq D$ . Demuestre que $OP=OI$ .

74 De una colección de $n$ personas se seleccionan $q$ equipos distintos de dos miembros y se ordenan $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el menor entero mayor o igual que $2q/n$. Muestre que hay $m$ equipos distintos que pueden listarse de modo que: (i) cada par de equipos consecutivos de la lista tiene un miembro en común y (ii) la cadena de equipos de la lista está en orden de rango. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots , q$, muestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$, en la que cada dos aristas consecutivas tienen un vértice común, ordenadas monótonamente respecto a la numeración. Amir

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle B > \angle C$ . Sobre la circunferencia $\mathcal{C}(O, R)$ circunscrita a este triángulo se eligen los puntos $D, E, J, K, S$ tales que $A, E, J$ y $K$ están en el mismo lado de la recta $BC$ , el diámetro $DE$ es perpendicular a la cuerda $BC$ , $S\in \overarc{EK},\overarc{AE}=\overarc{BJ}=\overarc{CK}=\dfrac{1}{4}\overarc{CE}$ . Sean $\{F\}=AC\cap DE, \{M\}=BK\cap AD, \{P\}=BK\cap AC$ y $\{Q\}=CJ\cap BF$ . Si $\angle SMK =30^{\circ}$ y $\angle AQP = 90^{\circ}$ , demuestre que la recta $MS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOF$ .

Considere una cuadrícula con $n{}$ filas y $m{}$ columnas $(n,m\in\mathbb{N},m,n\ge2)$ formada por $n\cdot m \; 1\times1$ cuadrados llamados ${células}$ . Una ${serpiente}$ es una sucesión de celdas con las siguientes propiedades: la primera celda está en la primera fila de la cuadrícula y la última celda está en la última fila de la cuadrícula; a partir de la segunda celda, cada una tiene un lado común con la celda anterior y no está por encima de la celda anterior. Defina la ${longitud}$ de una serpiente como el número de celdas que la componen. Halle la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes de la cuadrícula.

9 Demuestre que para cualesquiera números naturales $a , b , c$ con $b>a>1$ y $gcd(c,ab)=1$ , existe un número natural $n$ tal que : $$c | \binom{b^n}{a^n}$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

11 Sean $n<k$ dos números naturales y suponga que Sepehr tiene $n$ elementos químicos , $2k$ gramos de cada uno , divididos de manera arbitraria en $2k$ vasos. Halle el menor número $b$ tal que siempre sea posible para Sepehr elegir $b$ vasos que contengan en total al menos $2$ gramos de cada elemento. Propuesto por Josef Tkadlec & Morteza Saghafian Shayan-TayefehIR

3 Las bisectrices de $\angle BAC$, $\angle CAD$ en un rectángulo $ABCD$ intersecan los lados $BC$, $CD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Demuestre que $\frac{(MB)}{(MC)}+\frac{(ND)}{(NC)}>1$.