52 Sean números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que satisfacen $0 < a_i \leq a, \ i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que (i) Si $n = 4$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^4 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1}{a^2} \leq 2.\] (ii) Si $n = 6$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^6 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_5 a_6 + a_6 a_1}{a^2} \leq 3.\] Amir

53 Encuentra la(s) solución(es) real(es) del sistema de ecuaciones \[\begin{cases}x^3+y^3 &=1\\x^5+y^5 &=1\end{cases}\] Amir

2 La suma y el producto de dos fracciones decimales periódicas puras $a$ y $b$ son fracciones decimales periódicas puras de longitud de período $T$ . Demuestre que las longitudes de los períodos de las fracciones $a$ y $b$ no son mayores que $T$ . Nota. Una fracción decimal periódica pura es una fracción decimal periódica sin una parte inicial no periódica. darij

5 Demuestra que cualquier triángulo semejante al triángulo $ABC$ puede colocarse sobre papel cuadriculado con sus vértices en los vértices de la cuadrícula. Las condiciones necesarias y suficientes son que $\dfrac{S}{a^2}$ , $\dfrac{S}{b^2}$ , y $\dfrac{S}{c^2}$ sean números racionales. Donde $S$ es el área del triángulo $ABC$ , y $a$ , $b$ , y $c$ son los lados.

54 Sea $M = \{1, 2, \ldots, n\}$ y $\phi : M \to M$ una biyección. (i) Demuestra que existen biyecciones $\phi_1, \phi_2 : M \to M$ tales que $\phi_1 \cdot \phi_2 = \phi$, $\phi_1^2 = \phi_2^2 = E$, donde $E$ es la aplicación identidad. (ii) Demuestra que la conclusión en (i) también es cierta si $M$ es el conjunto de todos los enteros positivos. Amir

55 Dados los puntos $A, M, M_1$ y el número racional $\lambda \neq -1$. Construye el triángulo $ABC$, tal que $M$ esté en $BC$ y $M_1$ esté en $B_1C_1$ ($B_1, C_1$ son las proyecciones de $B, C$ sobre $AC, AB$ respectivamente), y $\frac{BM}{MC}=\frac{B_1M_1}{M_1C_1}=\lambda.$

Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, define el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} - K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n.$ (i) Define $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p}$, con $n = 0, 1, 2, \ldots$. Encuentra $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentra $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p}$, con $n = 0, 1, 2, \ldots$.

57 La sucesión $\{u_n\}$ está definida por $u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2}$ para $n \geq 3$. Demuestra que para cualesquiera enteros positivos $n, p \ (p > 1)$, se cumple $u_{n+p} = u_{n+1}u_{p} + 2u_nu_{p-1}$. También encuentra el máximo común divisor de $u_n$ y $u_{n+3}$.

Dado un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ y un punto $K$, demuestra que $S_{AKD}=S_{BMD}$ si $AL\parallel CK$, $L\in BC$, $DL\parallel KM$, y $M\in BC$.

58 Demuestra que existe un polígono convexo de 1990 lados con las siguientes dos propiedades: a.) Todos los ángulos son iguales. b.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.