2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AB$ paralelo a $CD$ y $AB<CD$ . Las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en un punto $P$ . El punto $X$ , distinto de $C$ , se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tal que $PC=PX$ . El punto $Y$ , distinto de $D$ , se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ tal que $PD=PY$ . Las rectas $AX$ y $BY$ se cortan en $Q$ . Demuestre que $PQ$ es paralela a $AB$ . Propuesto por Fedir Yudin, Mykhailo Shtandenko y Anton Trygub, Ukraine

6 Para cada entero positivo $M \geq 2$ , halle el menor número real $C_M$ tal que para cualesquiera enteros $a_1, a_2,\ldots , a_{2023}$ , siempre existe algún entero $1 \leq k < M$ tal que \[\left\{\frac{ka_1}{M}\right\}+\left\{\frac{ka_2}{M}\right\}+\cdots+\left\{\frac{ka_{2023}}{M}\right\}\leq C_M.\] Aquí, $\{x\}$ es el único número en el intervalo $[0, 1)$ tal que $x - \{x\}$ es un entero. Propuesto por usjl

4 Sea $k$ un entero positivo, y sea $n=2^k$ , $N=\{1, 2, \cdots, n\}$ . Para cualquier función biyectiva $f:N\rightarrow N$ , si un conjunto $A\subset N$ contiene un elemento $a\in A$ tal que $\{a, f(a), f(f(a)), \cdots\} = A$ , entonces llamamos a $A$ un ciclo de $f$ . Demuestre que: entre todas las funciones biyectivas $f:N\rightarrow N$ , al menos $\frac{n!}{2}$ de ellas tienen un número de ciclos menor o igual que $2k-1$ . Nota: Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva; en otras palabras, es uno a uno y sobre. Propuesto por CSJL

5 Halle todas las $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que satisfacen que para todos $m,n\in\mathbb{N}$ , el entero no negativo $|f(m+n)-f(m)|$ es un divisor de $f(n)$ . Propuesto por usjl

1 Sean $n$ y $m$ enteros positivos. La niñera de la guardería usa $n \times m$ tapetes cuadrados para construir un área rectangular de $n \times m$ , con un bebé sobre cada tapete. Cada bebé mira inicialmente hacia un lado del rectángulo. Cuando la niñera aplaude, todos los bebés se arrastran un tapete hacia adelante en la dirección hacia la que miran, y luego giran 90 grados en sentido horario. Si un bebé se arrastra fuera del rectángulo, llora. Si dos bebés se arrastran simultáneamente hacia el mismo tapete, chocan entre sí y lloran. Suponga que es posible que la niñera disponga la dirección inicial de cada bebé de modo que, sin importar cuántas veces aplauda, ningún bebé llore. Halle todos los valores posibles de $n$ y $m$ . Propuesto por Chu-Lan Kao

3 Sea $O$ el centro de la circunferencia $\Gamma$ , y sean $A$ , $B$ dos puntos de $\Gamma$ tales que $O, A$ y $B$ no son colineales. Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $OA$ y $OB$ , respectivamente, tales que $P \neq A$ y $P, M, Q$ son colineales. Sea $X$ la intersección de la recta que pasa por $P$ y es paralela a $AB$ con la recta que pasa por $Q$ y es paralela a $OM$ . Sea $Y$ la intersección de la recta que pasa por $X$ y es paralela a $OA$ con la recta que pasa por $B$ y es ortogonal a $OX$ . Demuestre que: si $X$ está en $\Gamma$ , entonces $Y$ también está en $\Gamma$ . Propuesto por usjl

G4 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ puntos en los segmentos $BC$ , $CA$ , y $AB$ respectivamente tales que $$ \frac{BD}{DC} = \frac{CE}{EA} = \frac{AF}{FB}. $$ Muestre que si los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $DEF$ y $ABC$ coinciden, entonces $ABC$ es un triángulo equilátero.

3 Sean $p \ne q$ enteros positivos coprimos. Determine todas las sucesiones infinitas $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ de enteros positivos tales que las siguientes condiciones se cumplan para todo $n \ge 1$ : \begin{align*} \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) &= p \\ \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) &= q \end{align*}

8 Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno conteniendo inicialmente una sola piedra. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos montones, tomar un número igual de piedras de cada montón y formar un nuevo montón con estas piedras. Halle (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se pueden obtener realizando una sucesión finita de movimientos de esta forma.

5 Sea $D$ el conjunto de los números reales excluyendo a $-1$ . Halle todas las funciones $f: D \to D$ tales que para todos $x,y \in D$ que satisfacen $x \neq 0$ y $y \neq -x$ , se cumple la igualdad $$(f(f(x))+y)f \left(\frac{y}{x} \right)+f(f(y))=x$$ .