1 En cada uno de los distintos grados de una escuela secundaria hay un número impar de alumnos. Cada alumno tiene un mejor amigo (que posiblemente está en otro grado). Todos son el mejor amigo de su mejor amigo. En la próxima excursión escolar, cada alumno irá a Roma o a París. Muestre que los alumnos pueden distribuirse entre los dos destinos de manera que (i) cada estudiante vaya al mismo destino que su mejor amigo; (ii) para cada grado, la diferencia absoluta entre el número de alumnos que van a Roma y el de los que van a París sea igual a $1$ .

1 Demuestre que no es posible que los números $(n+1)\cdot 2^n$ y $(n+3)\cdot 2^{n+2}$ sean cuadrados perfectos, donde $n$ es un entero positivo.

7 Sea $A$ un punto fijo de una circunferencia $\omega$ . Sea $BC$ una cuerda arbitraria de $\omega$ que pasa por un punto fijo $P$ . Demuestre que las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos $ABC$ son tangentes a alguna circunferencia fija que no depende de $BC$ .

$ f(x)\in\mathbb Z[x]$$ f$$ \frac32$$ \alpha$$ f$$ f(\alpha^3+1)\neq0$

G8 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea $I$ su incentro. Las proyecciones de $I$ sobre $BC$, $CA$ y $AB$ son $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el reflejo de $D$ respecto a la recta $AI$, y sea $L$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFK$ y $CEK$. Si $\frac{1}{3} BC = AC - AB$, demuestra que $DE = 2KL$.

1 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario , $P$ es el punto de intersección de la altura desde $C$ y la recta tangente desde $A$ a la circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ interseca a $BC$ en $D$ . $PD$ interseca a $AB$ en $K$ , si $H$ es el ortocentro, entonces demuestre que $HK\perp AD$ K.N

A1 Determina todas las funciones \(f:\mathbb R\mapsto\mathbb R\) que satisfacen la ecuación \(f(a^2 +ab+ f(b^2))=af(b)+b^2+ f(a^2)\,\forall a,b\in\mathbb R \)

1 Tenemos el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x^3-x^2 =2y \\ 8y^3-4y^2 =x\end{cases}$$ a) Halle al menos dos de sus soluciones reales $(x,y)$ . b) Halle todas sus soluciones reales.

3 El grafo $G$ no es $3$ - coloreable. Demuestre que $G$ se puede dividir en dos grafos $M$ y $N$ tales que $M$ no es $2$ - coloreable y $N$ no es $1$ - coloreable. V. Dolnikov

5 Sea $S$ el conjunto de todos los $5^6$ enteros positivos cuya representación decimal consta exactamente de 6 dígitos impares. Encuentra el número de soluciones $(x,y,z)$ de la ecuación $x+y=10z$, donde $x\in S$, $y\in S$, $z\in S$.