79 Sean $AA_1,BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$; $K$ y $M$ son puntos de los segmentos $A_1C_1$ y $B_1C_1$, respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$ Amir

78 Si $T$ y $T_1$ son dos triángulos con ángulos $x, y, z$ y $x_1, y_1, z_1$, respectivamente, demuestre la desigualdad \[\frac{\cos x_1}{\sin x}+\frac{\cos y_1}{\sin y}+\frac{\cos z_1}{\sin z} \leq \cot x+\cot y+\cot z.\] Amir

80 Sea $ABCD$ un tetraedro y $O$ su incentro, y sea la recta $OD$ perpendicular a $AD$. Halle el ángulo entre los planos $DOB$ y $DOC.$ Amir

76 Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de un estanque circular tales que $B$ está directamente al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, giró y nadó hacia el oeste, alcanzando la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y.$ Amir

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$. El círculo con centro $M$ y radio $MA$ corta a $AD, AB$ en $X, Y$. El punto $Z \in XY$ con $Z \neq Y$ satisface $BY=BZ$. Demuestra que $\angle BZD=\angle BCD$.

1 Consideremos la división de un tablero de ajedrez $8 \times 8$ en p rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de casillas completas (no parciales) de las 64 y el número de casillas blancas es igual al número de casillas negras. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de casillas blancas de los $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Halle el mayor valor de $p$ para el cual existe tal división y, para ese valor de $p,$ todas las sucesiones $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las cuales podemos tener tal división. El moderador dice: véase https://artofproblemsolving.com/community/c6h58591 Amir

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Sean construidos los cuadrados $ABB_1A_2, BCC_1B_2, CDD_1C_2, DAA_1D_2$ en el exterior del cuadrilátero. Además, sean $AA_1PA_2$ y $CC_1QC_2$ paralelogramos. Para cualquier punto arbitrario $P$ en el interior de $ABCD$ , se construyen los paralelogramos $RASC$ y $RPTQ$ . Demuestre que estos dos paralelogramos tienen dos vértices en común. Amir

4 Sean $K_a,K_b,K_c$ con centros $O_a,O_b,O_c$ las circunferencias exinscritas de un triángulo $ABC$ , que tocan los interiores de los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $T_a,T_b,T_c$ respectivamente. Demuestre que las rectas $O_aT_a,O_bT_b,O_cT_c$ son concurrentes en un punto $P$ para el cual se cumple $PO_a=PO_b=PO_c=2R$ , donde $R$ denota el circunradio de $ABC$ . Demuestre también que el circuncentro $O$ de $ABC$ es el punto medio del segmento $PI$ , donde $I$ es el incentro de $ABC$ .

5 Se da un cono recto en el interior de un paralelepípedo rectangular $B$ , con el vértice en uno de los vértices, digamos $T$ , del paralelepípedo, y la base tocando las tres caras opuestas a $T .$ Su eje está sobre la diagonal larga que pasa por $T.$ Si $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes del cono y del paralelepípedo respectivamente, demuestre que \[V_1 \leq \frac{\sqrt 3 \pi V_2}{27}.\] Amir

7 Sea $p$ un número primo y $n$ un entero positivo. Demuestre que el producto \[{N=\frac{1}{p^{n^2}}} \prod_{i=1;2 \nmid i}^{2n-1} \biggl[ \left( (p-1)! \right) \binom{p^2 i}{pi}\biggr]\] es un entero positivo que no es divisible por $p.$ Amir