3 En un triángulo arbitrario $ ABC$ sea $ E$ un punto sobre la altura trazada desde $ A$ . Demuestre que $ (AC)^2 - (CE)^2 = (AB)^2 - (EB)^2$ .

Entre las familias de un barrio de la ciudad de Chimoio, se distribuyeron un total de $144$ cuadernos, $192$ lápices y $216$ borradores. Esta distribución se hizo de manera que se cubriera el mayor número posible de familias y todos recibieran la misma cantidad de cada material, sin que sobrara nada. En este caso, ¿cuántos cuadernos, lápices y borradores recibió cada familia?

57 Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanarios con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestre que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tales que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $\angle BAC$ y $AB = \frac12 BC$. Sea $D$ el punto medio de $BC$ y $E$ el punto en el mismo semiplano que $A$ respecto a la recta $BC$ tal que $DE = AB$. Desde el punto $E$, la perpendicular a $AC$ la corta en el punto $F$. La recta $DF$ interseca a $AE$ en el punto $G$. Demuestra que $GD$ es perpendicular a $AE$.

27 Sean $C_1$ y $C_2$ circunferencias en el mismo plano, $P_1$ y $P_2$ puntos arbitrarios sobre $C_1$ y $C_2$ respectivamente, y $Q$ el punto medio del segmento $P_1P_2.$ Halle el lugar geométrico de los puntos $Q$ a medida que $P_1$ y $P_2$ recorren todas las posiciones posibles. Versión alternativa . Sean $C_1, C_2, C_3$ tres circunferencias en el mismo plano. Halle el lugar geométrico del centroide del triángulo $P_1P_2P_3$ a medida que $P_1, P_2,$ y $P_3$ recorren todas las posiciones posibles sobre $C_1, C_2$ , y $C_3$ respectivamente. Amir

20 ¿Para cuáles números naturales $n$ existen $n$ números naturales $a_i\ (1\le i\le n)$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i^{-2}=1$ ?

C1 100 parejas son invitadas a un baile tradicional moldavo. Las $200$ personas se colocan en una fila, y luego en un $\textit{paso}$, muchas (no necesariamente adyacentes) intercambian posiciones. Encuentra el menor $C$ tal que, sin importar el orden inicial, puedan llegar a un orden donde todos bailen junto a su pareja en a lo más $C$ pasos.

. Calcule el valor $\frac{1^{4}+2009^{4}+2010^{4}}{1^{2}+2009^{2}+2010^{2}}$ . P2. Un pentágono $ABCDE$ satisface $AB=BC=CD=DE, \angle B=96^{\circ}, \angle C=\angle D=108^{\circ}$ . Halle $\angle E$ . P3. Sean $a, b, c$ números reales no negativos y sean $x, y, z$ números reales positivos tales que \[a+b+c=x+y+z.\] Demuestre la desigualdad $\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}} \geqslant a+b+c.$ P4. En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se dan las razones $AB:DC=1:2$ y $BD:AC=2:3$ . Halle la razón $DA:BC$ . P5. Un número natural $m$ satisface que la suma de las cifras de la representación decimal de $8^{m}$ es igual a $8$ . ¿Puede la última cifra de $8^{m}$ ser igual a $6$ ? P6. Un hongo se llama $\text{bad}$ si contiene al menos $10$ gusanos. En una cesta hay $90$ hongos malos y $10$ buenos. ¿Puede ocurrir que después de que algunos gusanos se arrastren de los hongos malos a los buenos, todos los hongos se vuelvan buenos?

26 Sea $g(k)$ el número de particiones de un conjunto de $k$ - elementos $M$ , es decir, el número de familias $\{ A_1,A_2,\ldots ,A_s\}$ de subconjuntos no vacíos de $M$ tales que $A_i\cap A_j=\emptyset$ para $i\not= j$ y $\bigcup_{i=1}^n A_i=M$ . Demuestre que, para todo $n$ , \[n^n\le g(2n)\le (2n)^{2n}\]

25 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ de la forma $f(x) = x + \epsilon \sin x,$ donde $0 < |\epsilon| \leq 1.$ Defina para cualquier $x \in \mathbb R,$ \[x_n=\underbrace{f \ o \ \ldots \ o \ f}_{n \text{ times}} (x).\] Muestre que para todo $x \in \mathbb R$ existe un entero $k$ tal que $\lim_{n\to \infty } x_n = k\pi.$ Amir