8 Halle todos los polinomios $ p$ de una variable con coeficientes enteros tales que si $ a$ y $ b$ son números naturales tales que $ a + b$ es un cuadrado perfecto, entonces $ p\left(a\right) + p\left(b\right)$ también es un cuadrado perfecto. Omid

5 Para todo entero positivo $k>1$ , demuestre que existe un número real $x$ tal que para todo entero positivo $n<1398$ : $$\left\{x^n\right\}<\left\{x^{n-1}\right\} \Longleftrightarrow k\mid n.$$ Propuesto por Mohammad Amin Sharifi

4 Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB=AC$ ) con incentro $I$ . La circunferencia $\omega$ pasa por $C$ e $I$ y es tangente a $AI$ . $\omega$ interseca a $AC$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $Q$ y $D$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y $N$ el punto medio de $CQ$ . Demuestre que $AD$ , $MN$ y $BC$ son concurrentes. Propuesto por Alireza Dadgarnia

3 Dado un triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Los puntos $E$ y $F$ son los pies de las bisectrices de $B$ y $C$ , $I$ es el incentro y $K$ es la intersección de $AI$ y $EF$ . Suponga que $T$ es el punto medio del arco $BAC$ . La circunferencia $\Gamma$ interseca a la $A$ -mediana y a la circunferencia circunscrita de $AEF$ por segunda vez en $X$ y $S$ . Sea $S'$ la reflexión de $S$ respecto a $AI$ y sea $J$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de $AS'K$ con $AX$ . Demuestre que el cuadrilátero $TJIX$ es cíclico. Propuesto por Alireza Dadgarnia y Amir Parsa Hosseini

1 Llamamos a un polinomio mónico $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ libre de cuadrados mód $n$ si no existen polinomios $Q(x),R(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $Q$ no constante y $P(x) \equiv Q(x)^2 R(x) \mod n$ . Dados un primo $p$ y un entero $m \geq 2$ , halle el número de polinomios mónicos $P(x)$ libres de cuadrados mód $p$ con grado $m$ y coeficientes en $\{0,1,2,3,...,p-1\}$ . Propuesto por Masud Shafaie

6 Se dan $n$ números positivos. ¿Es siempre posible encontrar un polígono convexo de $n+3$ lados y una triangulación de este de modo que las longitudes de las diagonales utilizadas en la triangulación sean los $n$ números dados? Propuesto por Morteza Saghafian

4 Dada una función $g:[0,1] \to \mathbb{R}$ que satisface la propiedad de que para toda partición no vacía del intervalo $[0,1]$ en subconjuntos $A,B$ tenemos o bien $\exists x \in A; g(x) \in B$ o bien $\exists x \in B; g(x) \in A$ , y además tenemos $g(x)>x$ para $x \in [0,1]$ . Demuestre que existen infinitos $x \in [0,1]$ con $g(x)=1$ . Propuesto por Ali Zamani

3 Llamamos interesante a un número $n$ si para cada permutación $\sigma$ de $1,2,\ldots,n$ existen polinomios $P_1,P_2,\ldots ,P_n$ y $\epsilon > 0$ tales que: $i)$ $P_1(0)=P_2(0)=\ldots =P_n(0)$ $ii)$ $P_1(x)>P_2(x)>\ldots >P_n(x)$ para $-\epsilon<x<0$ $iii)$ $P_{\sigma (1)} (x)>P_{\sigma (2)}(x)> \ldots >P_{\sigma (n)} (x) $ para $0<x<\epsilon$ Halle todos los $n$ interesantes. Propuesto por Mojtaba Zare Bidaki

5 Llamamos Bonita a una terna de números si uno de ellos es el promedio de los otros dos. Suponga que tenemos $2k+1$ números reales distintos con $k^2$ ternas Bonitas. Demuestre que estos números pueden dividirse en dos progresiones aritméticas con iguales razones. Propuesto por Morteza Saghafian Mr.C

4 Suponga que $\Omega(n),\omega(n)$ son el mayor y el menor factor primo de $n$ , respectivamente. Alireza y Amin decidieron jugar un juego. Primero Alireza elige $1400$ polinomios con coeficientes enteros. Luego Amin elige $700$ de ellos; los conjuntos de polinomios de Alireza y de Amin son $B,A$ , respectivamente. Amin gana si para todo $n$ tenemos: $$\max_{P \in A}(\Omega(P(n))) \ge \min_{P \in B}(\omega(P(n)))$$ ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Propuesto por Alireza Haghi Mr.C