3 Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión de números reales no negativos $x_1,\ldots ,x_n$, definimos la sucesión transformada $y_1,\ldots ,y_n$ de la siguiente manera: el número $y_i$ es el mayor valor posible del promedio de términos consecutivos de la sucesión que contienen a $x_i$. Por ejemplo, la sucesión transformada de $2,4,1,4,1$ es $3,4,3,4,5/2$. Demuestra que a) Para todo número real positivo $t$, el número de $y_i$ tales que $y_i>t$ es menor o igual que $\frac{2}{t}(x_1+\cdots +x_n)$. b) Se cumple la desigualdad $\frac{y_1+\cdots +y_n}{32n}\leq \sqrt{\frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{32n}}$.

5 Sean $n \ge 4$ y $k$ enteros positivos. Consideramos $n$ rectas en el plano entre las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. En cada uno de los $\frac{n(n-1)}{2}$ puntos de intersección de estas rectas, se colocan $k$ monedas. Ana y Beto juegan el siguiente juego por turnos: cada jugador, en su turno, elige uno de esos puntos que no comparta una de las $n$ rectas con el punto elegido inmediatamente antes por el otro jugador, y retira una moneda de ese punto. Ana empieza y puede elegir cualquier punto. El jugador que no puede hacer su movimiento pierde. Determina, en función de $n$ y $k$, quién tiene una estrategia ganadora.

2 Sean $m, n \ge 2$. Considera un tablero rectangular de $m \times n$. Queremos embaldosar el tablero usando únicamente los siguientes dos tipos de baldosas: Baldosa 1: Un cuadrado de $2 \times 2$ (que cubre exactamente $4$ celdas). Baldosa 2: Un pentominó en forma de L que consta de $5$ celdas; equivalentemente, un cuadrado de $3 \times 3$ al que se le ha quitado el subcuadrado de $2 \times 2$ en la esquina superior derecha. Se permiten rotaciones de las baldosas. Determina todos los pares $(m,n)$ para los cuales el tablero de $m \times n$ puede embaldosarse completamente usando estas baldosas.

6 Un entero positivo $\text{N}$ está escrito en un pizarrón. En cada ronda, Olive puede realizar una de las siguientes operaciones: 1. Reemplazar el número actual por cualquier múltiplo positivo de él. 2. Reemplazar el número actual por un número formado al reordenar sus dígitos (se permiten ceros a la izquierda). Por ejemplo, si el número actual es $2022$, Olive puede obtener cualquiera de los números $222, 2202, 2220$. Determina todos los enteros positivos $\text{N}$ para los cuales Olive puede obtener el número $1$ después de un número finito de rondas.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Hay dos puntos $X$ y $Y$ sobre la bisectriz del ángulo $B\widehat AC$ tales que $X$ está entre $A$ y $Y$ y $BX$ es paralelo a $CY$. Sea $Z$ el reflejo de $X$ con respecto a $BC$. La recta $YZ$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Si la recta $BY$ corta a la recta $CX$ en el punto $K$, demuestra que $KA=KP$.

1 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los números del $2$ al $2022$ de modo que el primer número sea múltiplo de $1$, el segundo número sea múltiplo de $2$, el tercer número sea múltiplo de $3$, y así sucesivamente hasta que el último número sea múltiplo de $2021$?

Sea $\text{N}(a,b)$ el número de formas de cubrir un tablero rectangular de $a \times b$ con dominós. Sea $\text{M}(a,2b+1)$ el número de formas de cubrir un tablero rectangular de $a \times (2b+1)$ con dominós bajo la condición adicional de que ningún dominó se coloque verticalmente en la columna central. Demuestra que, para todos los enteros positivos $m,n$, \[ \text{M}(2m,2n+1)=2^{m}\cdot \text{N}(2m,n)\cdot \text{N}(2m,n-1) \]

1 Encuentra tres números impares consecutivos $a,b,c$ tales que $a^2+b^2+c^2$ sea un número de cuatro dígitos con los cuatro dígitos iguales.

3 Sobre la mesa hay $N$ tarjetas. Cada tarjeta tiene un número entero escrito. Beto realiza la siguiente operación varias veces: elige dos tarjetas de la mesa, calcula la diferencia entre los números escritos en ellas, escribe el resultado en su cuaderno y retira esas dos tarjetas de la mesa. Puede realizar esta operación tantas veces como quiera, siempre que haya al menos dos tarjetas sobre la mesa. Después, Beto multiplica todos los números que escribió en su cuaderno. El objetivo de Beto es que el resultado de esta multiplicación sea un múltiplo de $7^{100}$. Encuentra el valor mínimo de $N$ tal que Beto siempre pueda lograr su objetivo, sin importar cuáles sean los números en las tarjetas.

6 En Vila Par, toda moneda genuina tiene un peso par (medido en gramos), mientras que toda moneda falsa tiene un peso impar. Se dispone de un dispositivo electrónico, pero solo reporta la paridad (par o impar) del peso total de cualquier conjunto seleccionado de monedas. Supón que hay $2020$ monedas genuinas y $2$ monedas falsas. Determina el menor entero $k$ para el cual existe una estrategia que garantice la identificación de las dos monedas falsas usando el dispositivo electrónico a lo sumo $k$ veces.