68 Considere la ecuación $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$ con coeficientes reales $a, b$. Determine el número de raíces reales distintas y sus multiplicidades para los diversos valores de $a$ y $b$. Represente su resultado gráficamente en el plano $(a, b)$. Amir

69 Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$. Demuestre que si dos de los cuadrángulos $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, también lo es el tercero. Amir

70 Sea $ABCD$ un tetraedro tal que cada suma de aristas opuestas es igual a $1$. Demuestre que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, dándose la igualdad solo si $ABCD$ es regular. Amir

72 Un juego de una persona con dos resultados posibles se juega como sigue: Después de cada partida, el jugador recibe $a$ o $b$ puntos, donde $a$ y $b$ son enteros con $0 < b < a < 1986$. El juego se juega tantas veces como se desee y la puntuación total del juego se define como la suma de los puntos recibidos tras las partidas sucesivas. Se observa que todo entero $x \geq 1986$ puede obtenerse como puntuación total, mientras que $1985$ y $663$ no pueden. Determine $a$ y $b.$ Amir

73 Sea $(a_i)_{i\in \mathbb N}$ una sucesión estrictamente creciente de números reales positivos tal que $\lim_{i \to \infty} a_i = +\infty$ y $a_{i+1}/a_i \leq 10$ para cada $i$. Demuestre que para todo entero positivo $k$ existen infinitos pares $(i, j)$ con $10^k \leq a_i/a_j \leq 10^{k+1}.$ Amir

75 El incentro de un triángulo es el punto medio del segmento de longitud $4$ que une el baricentro y el ortocentro del triángulo. Determine el área máxima posible del triángulo. Amir

79 Sean $AA_1,BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$; $K$ y $M$ son puntos de los segmentos $A_1C_1$ y $B_1C_1$, respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$ Amir

78 Si $T$ y $T_1$ son dos triángulos con ángulos $x, y, z$ y $x_1, y_1, z_1$, respectivamente, demuestre la desigualdad \[\frac{\cos x_1}{\sin x}+\frac{\cos y_1}{\sin y}+\frac{\cos z_1}{\sin z} \leq \cot x+\cot y+\cot z.\] Amir

80 Sea $ABCD$ un tetraedro y $O$ su incentro, y sea la recta $OD$ perpendicular a $AD$. Halle el ángulo entre los planos $DOB$ y $DOC.$ Amir

76 Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de un estanque circular tales que $B$ está directamente al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, giró y nadó hacia el oeste, alcanzando la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y.$ Amir