18 Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $''.)

12 Dado un triángulo $ABC$ tal que el circuncentro está en el interior de la circunferencia inscrita, demuestre que el triángulo $ABC$ es acutángulo. Amir

5 Un cubo se ensambla con $27$ cubos blancos. Luego el cubo grande se pinta de negro en el exterior y se desensambla. Un hombre ciego lo vuelve a ensamblar. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo quede ahora completamente negro en el exterior? Dé una aproximación de la magnitud de su respuesta. Amir

2 Un ángulo se considera como un punto y dos rayos que salen de él. Halle el mayor valor de $n$ tal que sea posible colocar $n$ ángulos de $60$ grados en el plano de manera que cualquier par de estos ángulos tenga exactamente $4$ puntos de intersección.

30 Considere el $1987$ -ágono regular $A_1A_2 . . . A_{1987}$ con centro $O$ . Muestre que la suma de los vectores pertenecientes a cualquier subconjunto propio de $M = \{OA_j | j = 1, 2, . . . , 1987\}$ es no nula. Amir

19 ¿Para qué enteros $n \geq 3$ existe un $n$ -gono regular en el plano tal que todos sus vértices tengan coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares? Amir

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las rectas paralelas a $AD$ y $CD$ que pasan por el ortocentro $H$ de $ABC$ intersecan $AB$ y $BC$ respectivamente en $P$ y $Q$ . Demuestre que la perpendicular a la recta $H$ que pasa por $PQ$ pasa por el ortocentro del triángulo $ACD$

3 Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $S$ su baricentro y $H$ su ortocentro. Denote por $A_1, B_1$ y $C_1$ los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos $CHB, CHA$ y $AHB$ , respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $A_1B_1C_1$ y que la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ es también la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle A_1B_1C_1$ . Amir

4 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: Solo hay un número finito de múltiplos positivos de $n$ que tienen exactamente $n$ divisores positivos.

9 Las diagonales de un cuadrilátero $ABCD$ son perpendiculares: $AC\perp BD$ . Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro cuadrados, $ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL$ . Los puntos de intersección de los pares de rectas $CL,DF; DF,AH; AH,BJ; BJ,CL$ se denotan por $P_1,Q_1,R_1, S_1$ , respectivamente, y los puntos de intersección de los pares de rectas $AI,BK; BK,CE;$ $ CE,DG; DG,AI$ se denotan por $P_2,Q_2,R_2, S_2$ , respectivamente. Demuestre que $P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2.$ Amir