1 Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a \leq b$ y \[a!+b!=c^4+2024\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

2 Llamamos a un triángulo que consiste en tres vértices de un pentágono grande si su área es mayor que la mitad del área del pentágono. Encuentre el número máximo de triángulos grandes que puede haber en un pentágono convexo. Propuesto por Gonchigdorj Radnaasumberel.

3 Un conjunto $X$ que consiste en $n$ enteros positivos se llama $\textit{good}$ si se cumple la siguiente condición: Para cualesquiera dos subconjuntos diferentes de $X$ , digamos $A$ y $B$ , el número $s(A) - s(B)$ no es divisible por $2^n$ . (Aquí, para un conjunto $A$ , $s(A)$ denota la suma de los elementos de $A$ ) Dado $n$ , encuentre el número de conjuntos buenos de tamaño $n$ , todos cuyos elementos son estrictamente menores que $2^n$ .

1 Sean $M, \alpha, \beta \in \mathbb{R} $ con $M > 0$ y $\alpha, \beta \in (0,1)$ . Si $R>1$ es un número real, decimos que una sucesión de números reales positivos $\{ C_n \}_{n\geq 0}$ es $R$ -inoceronte si $ \sum_{i=1}^n R^{n-i}C_i \leq R^n \cdot M$ para todo $n \geq 1$ . Determine el menor real $R>1$ para el cual existe una sucesión $R$ -inoceronte $ \{ C_n \}_{n\geq 0}$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} \beta ^n C_n^{\alpha}$ diverge.

2 Existe un cuadrilátero $\mathcal{Q} _{1}$ tal que los puntos medios de sus lados se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que existe un cuadrilátero cíclico $\mathcal{Q} _{2}$ con los mismos lados que $\mathcal{Q} _{1}$ y dos de los mismos ángulos.

3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y$ : \[f(x)f(y+f(x))=f(1+xy)\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

7 Las aristas de un grafo completo sobre $1000$ vértices están coloreadas con tres colores. Demuestre que este grafo contiene un ciclo monocromático sin autointersecciones cuya longitud es impar y no menor que $41$ .

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1)$ Para todo $x,y \in \mathbb{R}$

4 Una circunferencia inscrita en el cuadrado $ABCD$ , de lado $10$ cm, interseca los lados $BC$ y $AD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. El punto $I$ es la intersección de $AM$ con la circunferencia distinta de $M$ , y $P$ es la proyección ortogonal de $I$ sobre $MN$ . Halle el valor del segmento $PI$ .

3 Sea $A_1A_2 \dots A_n$ un $n$ -ágono cíclico con centro $O$ y $P$ , $Q$ dos conjugados isogonales de él (es decir, $\angle PA_{i+1}A_i = \angle QA_{i+1}A_{i+2}$ para todo $i$ ) . Sea $P_i$ el circuncentro del $\triangle PA_iA_{i+1}$ y $Q_i$ el circuncentro del $\triangle QA_iA_{i+1}$ para todo $i$ . Demuestre que: $a) ~P_1P_2 \dots P_n$ y $Q_1Q_2 \dots Q_n$ son cíclicos, con centros $O_P$ y $O_Q$ , respectivamente. $b)~O, O_P$ y $O_Q$ son colineales. $c)~O_PO_Q \mid \mid PQ.$ Observación: los índices se toman módulo $n$ .