5 Sea $\{a_n\}$ una sucesión tal que: $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_{k+1}=-a_k+\frac{1}{2-a_k}$ para todo $k = 1, 2,\ldots$ . Demuestre que \[ \left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\cdots+a_n)}-1\right)^n \leq \left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\cdots \left(\frac{1}{a_n}-1\right). \]

6 Suponga que $X$ es un conjunto con $|X| = 56$ . Halle el valor mínimo de $n$ tal que, para cualesquiera 15 subconjuntos de $X$ , si la cardinalidad de la unión de cualesquiera 7 de ellos es mayor o igual que $n$ , entonces existen 3 de ellos cuya intersección es no vacía. Valentin

3 Como se muestra en la figura, un estanque está dividido en 2n (n $\geq$ 5) partes. Dos partes se llaman vecinas si tienen un lado o un arco en común. Así, cada parte tiene tres vecinas. Ahora hay 4n+1 ranas en el estanque. Si hay tres o más ranas en una parte, entonces tres de las ranas de esa parte saltarán a las tres vecinas respectivamente. Demuestre que después de algún tiempo, las ranas del estanque se distribuirán uniformemente. Es decir, para cualquier parte, o bien hay ranas en la parte o bien hay ranas en cada una de sus vecinas. Archivo de imagen no válido

1 Suponga que $\theta_{i}\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), i = 1,2,3,4$ . Demuestre que existen $x\in \mathbb{R}$ que satisfacen las dos desigualdades \begin{eqnarray*} \cos^2\theta_1\cos^2\theta_2-(\sin\theta\sin\theta_2-x)^2 &\geq& 0, \\ \cos^2\theta_3\cos^2\theta_4-(\sin\theta_3\sin\theta_4-x)^2 & \geq & 0 \end{eqnarray*} si y solo si \[ \sum^4_{i=1}\sin^2\theta_i\leq2(1+\prod^4_{i=1}\sin\theta_i + \prod^4_{i=1}\cos\theta_i). \]

2 Para un entero positivo dado $n\ge 2$ , suponga que los enteros positivos $a_i$ con $1\le i\le n$ satisfacen $a_1<a_2<\ldots <a_n$ y $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\le 1$ . Demuestre que, para cualquier número real $x$ , se cumple la siguiente desigualdad \[\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i^2+x^2}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a_1(a_1-1)+x^2} \] Li Shenghong

1 Sean $I$ y $H$ el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ respectivamente. Sean $P,Q$ los puntos medios de $AB,AC$ . Los rayos $PI,QI$ intersecan a $AC,AB$ en $R,S$ respectivamente. Suponga que $T$ es el circuncentro del triángulo $BHC$ . Sea $RS$ la intersección con $BC$ en $K$ . Demuestre que $A,I$ y $T$ son colineales si y solo si $[BKS]=[CKR]$ . Shen Wunxuan

2 Determine el tamaño máximo del conjunto $S$ tal que: i) todos los elementos de $S$ son números naturales que no exceden $100$ ; ii) para cualesquiera dos elementos $a,b$ en $S$ , existe $c$ en $S$ tal que $(a,c)=(b,c)=1$ ; iii) para cualesquiera dos elementos $a,b$ en $S$ , existe $d$ en $S$ tal que $(a,d)>1,(b,d)>1$ . Yao Jiangang

3 Dado un entero positivo $n$ , halle el menor $\lambda>0$ tal que para cualesquiera $x_1,\ldots x_n\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , la condición $\prod_{i=1}^{n}\tan x_i=2^{\frac{n}{2}}$ implica $\sum_{i=1}^{n}\cos x_i\le\lambda$ . Huang Yumin

1 Halle todas las ternas de enteros $(a,m,n)$ tales que $a^m+1|a^n+203$ donde $a,m>1$ . Chen Yonggao

1 Para un número real dado $a$ y un entero positivo $n$ , demuestre que: i) existe exactamente una sucesión de números reales $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ tal que \[\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}\] ii) la sucesión $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ de i) satisface $|x_i|\le |a|$ donde $i=0,1,\ldots,n+1$ . Liang Yengde