Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, define el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} - K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n.$ (i) Define $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p}$, con $n = 0, 1, 2, \ldots$. Encuentra $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentra $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p}$, con $n = 0, 1, 2, \ldots$.

57 La sucesión $\{u_n\}$ está definida por $u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2}$ para $n \geq 3$. Demuestra que para cualesquiera enteros positivos $n, p \ (p > 1)$, se cumple $u_{n+p} = u_{n+1}u_{p} + 2u_nu_{p-1}$. También encuentra el máximo común divisor de $u_n$ y $u_{n+3}$.

Dado un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ y un punto $K$, demuestra que $S_{AKD}=S_{BMD}$ si $AL\parallel CK$, $L\in BC$, $DL\parallel KM$, y $M\in BC$.

58 Demuestra que existe un polígono convexo de 1990 lados con las siguientes dos propiedades: a.) Todos los ángulos son iguales. b.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.

1 Demuestra que la ecuación $4x^2-14xy+y^2+261=0$ tiene infinitas soluciones en números naturales.

59 Dados ocho números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_7 \leq a_8$ . Sea $x = \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_7 + a_8}{8}$ , $y = \frac{ a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_7^2 + a_8^2}{8}$ . Demuestra que \[2 \sqrt{y-x^2} \leq a_8 - a_1 \leq 4 \sqrt{y-x^2}.\] Amir

60 cubos unitarios se convierten en cuentas perforando un agujero a lo largo de una diagonal. Las cuentas se ensartan en un hilo de manera que pueden moverse libremente en el espacio, con la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se tocan. Sea \( A \) el vértice inicial y \( B \) el vértice final. Supongamos que hay \( p \times q \times r \) cubos en el hilo \( (p, q, r \geq 1).\) (a) Determina para qué valores de \( p, q \) y \( r \) es posible construir un bloque con dimensiones \( p, q \) y \( r.\) Da razones para tus respuestas. (b) La misma pregunta que en (a) con la condición adicional de que \( A = B.\)

66 Encuentra todas las funciones continuas y acotadas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[(f(x))^2 -(f(y))^2 = f(x + y)f(x - y) \text{ para todo } x, y \in \mathbb R.\] Amir

Sean \( a + bi \) y \( c + di \) dos raíces de la ecuación \( x^n = 1990 \), donde \( n \geq 3 \) es un entero y \( a,b,c,d \in \mathbb R \). Bajo la transformación lineal \( f =\left(\begin{array}{cc}a&c\\b &d\end{array}\right) \), tenemos que \( (2, 1) \to (1, 2) \). Denota \( r \) como la distancia desde la imagen de \( (2, 2) \) al origen. Encuentra el rango de \( r \).

68 En el plano coordenado, un punto variable $M$, partiendo del origen $O(0, 0)$, se mueve sobre la recta $l$ con pendiente $k$, donde $k$ es un número irracional. (i) Demuestra que el punto $O(0, 0)$ es el único punto racional (es decir, cuyas coordenadas son ambas racionales) sobre la recta $l.$ (ii) Demuestra que para cualquier número $\varepsilon > 0$, existen enteros $m, n$ tales que la distancia entre $l$ y el punto $(m, n)$ es menor que $\varepsilon.$ Amir