8 Halle todos los números reales $a, b, c$ que satisfacen $$ 2a - b =a^2b, \qquad 2b-c = b^2 c, \qquad 2c-a= c^2 a.$$

Alice y Bianca tienen cien canicas. Al comienzo del juego dividen estas cien canicas en dos montones. A partir de entonces, un movimiento consiste en elegir un montón, luego elegir un entero positivo no mayor que la mitad del número de canicas de ese montón y, finalmente, retirar esa cantidad de canicas del montón elegido. La primera jugadora que no pueda retirar canicas pierde. Alice realiza el primer movimiento del juego. Determine todos los tamaños iniciales de los montones para los cuales Bianca tiene una estrategia ganadora.

Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{Z}$ tales que $$f(k)-f(l) \mid k^2-l^2$$ para todos los enteros $k, l \geq 0$ .

1 Halle todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) =\infty$ y $\forall x,y\in \mathbb{R}, |x-y|>\varphi, \exists n<\varphi^{2023}, n\in \mathbb{N}$ tal que $$f^n(x)+f^n(y)=x+y$$

Halle todas las funciones $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$\gcd(f(x),y)f(xy)=f(x)f(y)$$ para todos los enteros positivos $x, y$ .

Sea $ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sean $E$ y $F$ puntos sobre los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que $ME=MF$ . Sea $D$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de $MEF$ con el lado $BC$ . Considere las rectas $\ell_D$ , $\ell_E$ y $\ell_F$ que pasan por $D, E$ y $F$ , respectivamente, tales que $\ell_D \perp BC$ , $\ell_E \perp AC$ y $\ell_F \perp AB$ . Demuestre que $\ell_D, \ell_E$ y $\ell_F$ son concurrentes.

3 Defina un $\emph{big circle}$ en una esfera como un círculo que contiene dos puntos diametralmente opuestos de la esfera. Suponga que $(AB)$ es el círculo máximo que pasa por $A$ y $B$ . Además, sea un $\emph{Spheric Triangle}$ el formado por $3$ arcos unidos por círculos máximos. El ángulo entre dos círculos que se intersecan se define como el ángulo entre las dos rectas tangentes trazadas desde el punto de intersección a los dos círculos en sus respectivos planos. Defina también $\angle XYZ$ como el ángulo entre $(XY)$ y $(YZ)$ . Dos círculos son tangentes si el ángulo entre ellos es 0. Todos los puntos del siguiente problema están en una esfera S. Sea $\Delta ABC$ un triángulo esférico con todos sus ángulos $<90^{\circ}$ tal que existe un círculo $\omega$ tangente a $(BC)$ , $(CA)$ , $(AB)$ en $D,E,F$ . Demuestre que existe $P\in S$ tal que $\angle PAB=\angle DAC$ , $\angle PCA=\angle FCB$ , $\angle PBA=\angle EBC$ .

4 Sea $S=\{(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3\}$ el conjunto de puntos con coordenadas enteras en el espacio. Gugu tiene infinitas esferas sólidas, todas con radios $\ge (\frac{\pi}2)^3$ . ¿Es posible que Gugu cubra todos los puntos de $S$ con sus esferas?

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y $T=AC\cap BD$ . Sean $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ los incentros de $\Delta TAB$ , $\Delta TBC$ , $TCD$ , $TDA$ , respectivamente, y $J_1$ , $J_2$ , $J_3$ , $J_4$ los incentros de $\Delta ABC$ , $\Delta BCD$ , $\Delta CDA$ , $\Delta DAB$ . Demuestre que $I_1I_2I_3I_4$ es un cuadrilátero cíclico y que su centro es $J_1J_3\cap J_2J_4$

6 Decimos que $H$ permea a $G$ si $G$ y $H$ son grupos finitos y para todo subgrupo $F$ de $G$ existe $H'\cong H$ con $H'\le F$ o $F\le H'\le G$ . Suponga que un grupo no abeliano $H$ permea a $G$ y sea $S=\langle H'\le G | H'\cong H\rangle$ . Demuestre que $$|\bigcap_{H'\in S} H'|>1$$