37 i.) Cuatro bolas de radio 1 son mutuamente tangentes, tres descansando en el piso y la cuarta descansando sobre las otras. Un tetraedro, cada una de cuyas aristas tiene longitud $ s,$ está circunscrito alrededor de las bolas. Encuentra el valor de $ s.$ ii.) Supón que $ ABCD$ y $ EFGH$ son caras opuestas de un sólido rectangular, con $ \angle DHC = 45^{\circ}$ y $ \angle FHB = 60^{\circ}.$ Encuentra el coseno de $ \angle BHD.$

38 i.) El polinomio $x^{2 \cdot k} + 1 + (x+1)^{2 \cdot k}$ no es divisible por $x^2 + x + 1.$ Encuentra el valor de $k.$ ii.) Si $p,q$ y $r$ son raíces distintas de $x^3 - x^2 + x - 2 = 0,$ encuentra el valor de $p^3 + q^3 + r^3.$ iii.) Si $r$ es el residuo cuando cada uno de los números 1059, 1417 y 2312 se divide entre $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces encuentra el valor de $d-r.$ iv.) ¿Cuál es el menor entero positivo impar $n$ tal que el producto de \[ 2^{\frac{1}{7}}, 2^{\frac{3}{7}}, \ldots, 2^{\frac{2 \cdot n + 1}{7}} \] es mayor que 1000?

39 i.) Sea $g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ ¿Cuál es el residuo cuando el polinomio $g(x^{12})$ se divide entre el polinomio $g(x)$? ii.) Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para todo número positivo $x$, $f(x^2 + 1 )^{\sqrt{x}} = k.$ Encuentra el valor de \[ f( \frac{9 +y^2}{y^2})^{\sqrt{ \frac{12}{y} }} \] para todo número positivo $y.$ iii.) La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x) + f(y) = f(x+y) - x \cdot y - 1$ para todo par $x,y$ de números reales. Si $f(1) = 1,$ entonces encuentra el número de enteros $n$ para los cuales $f(n) = n.$

40 i.) Considera un círculo $K$ con diámetro $AB;$ con un círculo $L$ tangente a $AB$ y a $K$ y con un círculo $M$ tangente al círculo $K,$ al círculo $L$ y a $AB.$ Calcula la razón del área del círculo $K$ al área del círculo $M.$ ii.) En el triángulo $ABC,$ $AB = AC$ y $\angle CAB = 80^{\circ}.$ Si los puntos $D,E$ y $F$ están en los lados $BC,$ $AC$ y $AB,$ respectivamente, y $CE = CD$ y $BF = BD,$ entonces encuentra el tamaño de $\angle EDF.$

41 i.) Calcula $x$ si \[ x = \frac{(11 + 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 - 6 \cdot \sqrt{2}} - (11 - 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 + 6 \cdot \sqrt{2}}}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}) - (\sqrt{\sqrt{5}+1})} \] ii.) Para cada número positivo $x,$ sea \[ k = \frac{\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 - \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) - 2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right)} \] Calcula el valor mínimo de $k.$

42 Demuestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, cuya suma de longitudes es 1988.

43. Encuentra todos los triángulos planos cuyos lados tienen longitud entera y cuyos incírculos tienen radio unitario.

44 Sea $-1 < x < 1.$ Demuestra que \[ \sum^{6}_{k=0} \frac{1 - x^2}{1 - 2 \cdot x \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot k }{7} \right) + x^2} = \frac{7 \cdot \left( 1 + x^7 \right)}{\left( 1 - x^7 \right)}. \] Deduce que \[ \csc^2\left( x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(2 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(3 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) = 8. \]

45 Sea $g(n)$ definida como sigue: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestra que si $n > 5$ es primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$

46 $A_1, A_2, \ldots, A_{29}$ son 29 sucesiones distintas de enteros positivos. Para $1 \leq i < j \leq 29$ y cualquier número natural $x,$ definimos $N_i(x) =$ número de elementos de la sucesión $A_i$ que son menores o iguales a $x,$ y $N_{ij}(x) =$ número de elementos de la intersección $A_i \cap A_j$ que son menores o iguales a $x.$ Se da que para todo $1 \leq i \leq 29$ y todo número natural $x,$ \[ N_i(x) \geq \frac{x}{e}, \] donde $e = 2.71828 \ldots$ Demuestra que existe al menos un par $i,j$ ( $1 \leq i < j \leq 29$ ) tal que \[ N_{ij}(1988) > 200. \]