1 Se nos dan $n$ números reales $a_1,a_2,\cdots , a_n$ tales que la suma de cualesquiera dos de ellos es no negativa. Demuestre que el siguiente enunciado y su recíproco son ambos verdaderos: si $n$ números reales no negativos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ , entonces se cumple la desigualdad $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$ .

3 Sean $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ números complejos que satisfacen $|Z_1|+|Z_2|+\cdots +|Z_n|=1$ . Demuestre que existen algunos de entre los $n$ números complejos tales que el módulo de la suma de estos números complejos no es menor que $1/6$ .

4 Dado un $\triangle ABC$ cuya área es igual a $1$ , suponga que los vértices del cuadrilátero $P_1P_2P_3P_4$ se encuentran todos sobre los lados de $\triangle ABC$ . Demuestre que entre los cuatro triángulos $\triangle P_1P_2P_3, \triangle P_1P_2P_4, \triangle P_1P_3P_4, \triangle P_2P_3P_4$ hay al menos uno cuya área no es mayor que $1/4$ .

5 Dada una sucesión $1,1,2,2,3,3,\ldots,1986,1986$ , determine, con demostración, si podemos reordenar la sucesión de modo que para cualquier entero $1\le k \le 1986$ haya exactamente $k$ números entre los dos “ $k$ ”.

6 Suponga que cada punto del plano está coloreado de blanco o de negro. Demuestre que existe un triángulo equilátero cuya longitud de lado es igual a $1$ o $\sqrt{3}$ y cuyos tres vértices son del mismo color.

1 En una clase hay 54 estudiantes sentados en parejas. Después del recreo los estudiantes cambian de lugar, sentándose nuevamente en parejas de tal manera que si dos estudiantes se sentaron juntos antes del recreo, entonces no se sentarán juntos después del recreo. Determine el mayor valor $N$ tal que, sin importar cómo se sienten los estudiantes antes del recreo, podamos elegir un grupo $S$ de $N$ estudiantes de modo que no haya dos personas que se hayan sentado juntas, ya sea antes o después del recreo.

2 Sea $n$ un entero positivo y $d$ un divisor positivo de $n$ . Demuestre que si $$\frac{d^2+d+1}{n+1}$$ es un número entero, entonces es igual a uno.

3 Sea \(\triangle ABC\) un triángulo con incentro $I$ . Sean $D$ y $E$ las intersecciones de la circunferencia inscrita de \(\triangle ABC's\) con $BC$ y $AC$ , respectivamente. Sea $P$ la intersección de $DE$ con $AI$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $BA$ , respectivamente. Demuestre que $M, P, N$ son colineales.

2011.1.4 Los círculos $K_1$ y $K_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ se intersectan en los puntos $A$ y $B$ de modo que $\angle O_1AO_2 > \frac{\pi}{2}$. La recta $O_1B$ intersecta al círculo $K_2$ en el punto $C$, y la recta $O_2B$ intersecta al círculo $K_1$ en el punto $D$. La recta paralela a $CD$ que pasa por el punto $B$ intersecta al círculo en los puntos $E$ y $F$. Demuestra que $|EF| = |AC| + |AD|$.

6 Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ islas y $n-1$ puentes, tales que cada puente conecta dos islas; además, desde cualquier isla se puede viajar a cualquier otra, posiblemente pasando por otras islas en el trayecto. Una noche, una de las islas se incendia. Cada mañana, si una isla está en llamas, el fuego se propaga a las islas vecinas (dos islas son vecinas si están directamente conectadas por un puente). Para controlar la propagación del fuego, durante la noche se destruye un puente; esto continúa cada noche hasta que el fuego no tenga manera de propagarse a más islas a la mañana siguiente. Sea $k$ el número mínimo de puentes que puede ser necesario destruir antes de que el fuego deje de propagarse. Determine el mayor valor posible de $k$ sobre todas las configuraciones posibles de puentes e islas en las que el fuego comienza.