6 $AH$ es la altura del triángulo $ABC$ y $H^\prime$ es la reflexión de $H$ a través del punto medio de $BC$ . Si las rectas tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ se intersecan entre sí en $X$ y la recta perpendicular a $XH^\prime$ en $H^\prime$ interseca a $AB$ y $AC$ en $Y$ y $Z$ respectivamente, demuestre que $\angle ZXC=\angle YXB$ .

1 Suponga que $O$ es el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Tenemos un círculo con centro $O$ que es tangente a $BC$ y que se llama $w$ . Suponga que $X$ y $Y$ son los puntos de intersección de la tangente desde $A$ a $w$ con la recta $BC$ ( $X$ y $B$ están del mismo lado de $AO$ ) . $T$ es la intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y la recta desde $X$ paralela a $AC$ . $S$ es la intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $C$ y la recta desde $Y$ paralela a $AB$ . Demuestre que $ST$ es tangente a $ABC$ .

2 Encuentre todos los polinomios con coeficientes enteros tales que el conjunto $P(\mathbb{Z})= $ { $p(a):a\in \mathbb{Z}$ } tiene una progresión geométrica.

3 Llamamos a una tabla de $n*n$ $selfish$ si numeramos las filas y las columnas con $0,1,2,3,...,n-1$ . (de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo) para todo { $ i,j\in{0,1,2,...,n-1}$ } el número de la celda $(i,j)$ es igual al número de veces que el número $i$ aparece en la fila $j$ . por ejemplo tenemos tal tabla para $n=5$ 1 0 3 3 4 1 3 2 1 1 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 demuestre que para $n>5$ no existe una tabla $selfish$

4 Halle el máximo número de permutaciones del conjunto { $1,2,3,...,2014$ } tales que para cada 2 números diferentes $a$ y $b$ de este conjunto, al menos en una de las permutaciones $b$ viene exactamente después de $a$

6 $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ . La perpendicular trazada desde $I$ a $AI$ corta a $AB$ y $AC$ en ${B}'$ y ${C}'$ respectivamente . Suponga que ${B}''$ y ${C}''$ son puntos en las semirrectas $BC$ y $CB$ tales que $B{B}''=BA$ y $C{C}''=CA$ . Suponga que la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de $A{B}'{B}''$ y $A{C}'{C}''$ es $T$ . Demuestre que el circuncentro de $AIT$ está sobre $BC$ .

1 Considere un árbol con $n$ vértices, etiquetados con $1,\ldots,n$ de modo que ninguna etiqueta se use dos veces. Cambiamos el etiquetado de la siguiente manera: cada vez elegimos una arista que no haya sido elegida antes e intercambiamos las etiquetas de sus extremos. Después de realizar esta acción $n-1$ veces, obtenemos otro árbol cuyo etiquetado es una permutación del etiquetado del primer grafo. Demuestre que esta permutación contiene exactamente un ciclo.

3 Demuestre que para todo $k> 1$ la ecuación $(x+1)(x+2)...(x+k)=y^{2}$ tiene un número finito de soluciones.

5 Si $x,y,z>0$ son números reales positivos tales que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$ demuestre que \[((x-y)(y-z)(z-x))^{2}\leq 2((x^{2}-y^{2})^{2}+(y^{2}-z^{2})^{2}+(z^{2}-x^{2})^{2})\]

6 Considere $n$ segmentos en el plano de los cuales no hay dos que se intersequen y entre sus $2n$ extremos no hay tres colineales. ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Afirmación: Existe un $2n$ - gono simple tal que sus vértices son los $2n$ extremos de los segmentos y cada segmento está completamente dentro del polígono o es una arista del polígono.