1 Sea $a>1$ un entero positivo impar. Halle el menor entero positivo $n$ tal que $2^{2000}$ es un divisor de $a^n-1$ . Mircea Becheanu

5 $d(n)$ indica el número de divisores enteros positivos del entero positivo $n$. ¿Para qué enteros positivos $n$ no se puede encontrar un entero positivo $k$ tal que $\underbrace{d(\dots d(d}_{k\ \text{times}} (n) \dots )$ sea un cuadrado perfecto?

7 Inicialmente, en una pizarra está escrita la ecuación $a_1x^2+b_1x+c=0$, donde $a_1, b_1, c_1$ son enteros y $(a_1+c_1)b_1 > 0$. En cada movimiento, si en la pizarra está escrita la ecuación $ax^2+bx+c=0$ y existe un $x \in \mathbb{R}$ que la satisface, Alice transforma esta ecuación en $(b+c)x^2+(c+a)x+(a+b)=0$. Demuestre que Alice se detendrá después de un número finito de movimientos.

8 Las circunferencias $w_1$ y $w_2$ tienen diámetros diferentes y son tangentes externamente entre sí en $X$. Los puntos $A$ y $B$ están en $w_1$, y los puntos $C$ y $D$ están en $w_2$, tales que $AC$ y $BD$ son rectas tangentes comunes de estas dos circunferencias. $CX$ corta a $AB$ en $E$ y a $w_1$ en $F$ por segunda vez. $(EFB)$ corta a $AF$ en $G$ por segunda vez. Si $AX \cap CD =H$, demuestre que los puntos $E, G, H$ son colineales.

2 A y B juegan un juego en una pirámide cuya base es un polígono de $2016$ lados. En cada turno, un jugador colorea un lado (que no haya sido coloreado antes) de la pirámide usando uno de los $k$ colores, de modo que ninguno de los lados con un vértice común tenga el mismo color. Si A comienza el juego, halle el valor mínimo de $k$ para el cual $B$ puede garantizar que todos los lados queden coloreados.

6 Los enteros $a_1, a_2, \dots a_n$ son diferentes entre sí módulo $\text{mod n}$. Si $a_1, a_2-a_1, a_3-a_2, \dots a_n-a_{n-1}$ también son diferentes entre sí módulo $\text{mod n}$, llamamos afortunada a la $n$-tupla ordenada $(a_1, a_2, \dots a_n)$. ¿Para qué enteros positivos $n$ se puede encontrar una $n$-tupla afortunada?

5 Un número cuadrático es una raíz real de las ecuaciones $ax^2 + bx + c = 0$ donde $|a|,|b|,|c|\in\{1,2,\ldots,10\}$. Halle el menor entero positivo $n$ para el cual al menos uno de los intervalos $$\left(n-\dfrac{1}{3}, n\right)\quad \text{and}\quad\left(n, n+\dfrac{1}{3}\right)$$ no contiene ningún número cuadrático.

8 Sea $G$ un grafo simple conexo con $2016$ vértices y $k$ aristas. Queremos elegir un conjunto de vértices entre los cuales no haya aristas y eliminar todos estos vértices elegidos (eliminamos tanto los vértices como todas las aristas incidentes a ellos) de modo que el grafo restante quede disconexo. Si podemos realizar esta tarea sin importar cómo estén dispuestas estas $k$ aristas (de modo que el grafo sea conexo), halle el valor máximo de $k$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $\omega$ una circunferencia tangente a las rectas $AB$ y $BC$ en los puntos $A$ y $C$, respectivamente. $\omega$ corta a los segmentos $AD$ y $CD$ de nuevo en $E$ y $F$, respectivamente, ambos diferentes de $D$. Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $CE$. Dado que $\angle ACB=\angle GDC+\angle ACE$, demuestre que la recta $AD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AGB$.

6 Demuestre que \[ (x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geq (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2) \] para todos los números reales positivos $x, y, z$ que satisfacen $xyz \geq 1$.