3 Suponga que $ a_1,\cdots , a_{25}$ son enteros no negativos y que $ k$ es el menor de ellos. Demuestre que $$\big[\sqrt{a_1}\big]+\big[\sqrt{a_2}\big]+\cdots+\big[\sqrt{a_{25}}\big ]\geq\big[\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_{25}+200k}\big].$$ (Como es usual, $[x]$ denota la parte entera del número $x$ , es decir, el mayor entero que no excede a $x$ . )

4 Sobre el tablero de ajedrez $n\times n$ se marcaron varias casillas de modo que las casillas inferior izquierda ( $L$ ) y superior derecha ( $R$ ) no estén marcadas y que para cualquier recorrido de caballo de $L$ a $R$ haya al menos una casilla marcada. ¿Para cuáles $n>3$ es posible que siempre existan tres casillas consecutivas en diagonal para las cuales al menos dos de ellas estén marcadas? toshihiro

3 Igual que el de Grado 10

2 Sea $n\geq 2$ y sean $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{1+x_{1}^2}{1+x_{1}x_{2}}+\frac{1+x_{2}^2}{1+x_{2}x_{3}}+\cdots+\frac{1+x_{n}^2}{1+x_{n}x_{1}}\geq n.\]

5 $n$ es compuesto. $1<a_1<a_2<...<a_k<n$ son todos los divisores de $n$ . Se sabe que $a_1+1,...,a_k+1$ son todos los divisores de algún $m$ (excepto $1,m$ ) . Halle todos los $n$ de este tipo.

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente; sea $AD$ una altura de este triángulo. Se elige un punto $K$ sobre el segmento $MN$ de modo que $BK=CK$ . La semirrecta $KD$ corta al circuncírculo $\Omega$ de $ABC$ en $Q$ . Demuestre que $C, N, K, Q$ son concíclicos.

4 Inicialmente, un entero positivo está escrito en el pizarrón. Cada segundo, se suma al número del pizarrón el producto de todos sus dígitos no nulos, se escribe el resultado en el pizarrón y se borra el número anterior. Demuestre que existe un entero positivo que será sumado infinitas veces.

7 Igual que el de Grado 9

2 El círculo $\omega$ es tangente a los lados $AB, AC$ del triángulo $ABC$ . Un círculo $\Omega$ toca el lado $AC$ y la recta $AB$ (prolongada más allá de $B$ ) y toca a $\omega$ en un punto $L$ sobre el lado $BC$ . La recta $AL$ corta de nuevo a $\omega$ y $\Omega$ en $K$ y $M$ . Resultó que $KB \parallel CM$ . Demuestre que $\triangle LCM$ es isósceles.

4 Sobre los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente, de modo que $PQ\parallel BC$ . Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersecan en el punto $O$ . El punto $A'$ es simétrico al punto $A$ respecto de la recta $BC$ . El segmento $A'O$ interseca al circuncírculo $w$ del triángulo $APQ$ en el punto $S$ . Demuestre que el circuncírculo de $BSC$ es tangente al círculo $w$ .