Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 1
1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle BAC = 45^o$ . Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD \perp AB$ . Sea $P$ un punto interior del segmento $CD$ . Demuestre que $AP\perp BC$ si y solo si $|AP| = |BC|$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 2
2 Sean $A$ y $B$ enteros positivos. Defina la sucesión aritmética $a_0, a_1, a_2, ...$ por $a_n = A_n + B$ . Suponga que existe un $n\ge 0$ tal que $a_n$ es un cuadrado. Sea $M$ un entero positivo tal que $M^2$ es el cuadrado más pequeño de la sucesión. Demuestre que $M < A +\sqrt{B}$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 3
3 Sea $n\ge 2$ un entero positivo y $p $ un primo tal que $n|p-1$ y $p | n^3-1$ . Muestre que $ 4p-3$ es un cuadrado.
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 5
5 Halle todas las ternas $(x,y, z)$ de números reales (no necesariamente positivos) que satisfacen $3(x^2 + y^2 + z^2) = 1$ , $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 1
1 Considere sucesiones $a_1, a_2, a_3,...$ de enteros positivos. Determine el menor valor posible de $a_{2010}$ si (i) $a_n < a_{n+1}$ para todo $n\ge 1$ , (ii) $a_i + a_l > a_j + a_k$ para todas las cuádruplas $ (i, j, k, l)$ que satisfacen $1 \le i < j \le k < l$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 3
3 (a) Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $M(a, b) = a - \frac1b +b(b + \frac3a)$ es un entero. Demuestre que $M(a,b)$ es un cuadrado. (b) Halle enteros no nulos $a$ y $b$ tales que $M(a,b)$ es un entero positivo, pero no un cuadrado.
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 4
4 Sea $ABCD$ un cuadrado con circunferencia circunscrita $\Gamma_1$ . Sea $P$ un punto en el arco $AC$ que también contiene a $B$ . Una circunferencia $\Gamma_2$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$ y también es tangente a la diagonal $AC$ en $Q$ . Sea $R$ un punto en $\Gamma_2$ tal que la recta $DR$ es tangente a $\Gamma_2$ . Demuestre que $|DR| = |DA|$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2010 Problema 5
5 El polinomio $A(x) = x^2 + ax + b$ con coeficientes enteros tiene la siguiente propiedad: para cada primo $p$ existe un entero $k$ tal que $A(k)$ y $A(k + 1)$ son ambos divisibles por $p$ . Demuestre que existe un entero $m$ tal que $A(m) = A(m + 1) = 0$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2009 Problema 1
1 Para un entero positivo $n$ sea $S(n)$ la suma de los dígitos en la representación decimal de $n$ . Cualquier entero positivo que se obtiene al eliminar varios (al menos uno) dígitos del extremo derecho de la representación decimal de $n$ se llama un muñón de $n$ . Sea $T(n)$ la suma de todos los muñones de $n$ . Demuestre que $n=S(n)+9T(n)$ .
Prueba de Selección de Equipos de Países Bajos para la IMO 2009 Problema 2
2 Sea $ABC$ un triángulo, $P$ el punto medio de $BC$ , y $Q$ un punto en el segmento $CA$ tal que $|CQ| = 2|QA|$ . Sea $S$ la intersección de $BQ$ y $AP$ . Demuestre que $|AS| = |SP|$ .