2 Sea $\mathbb Z_{\ge 0}$ el conjunto de los enteros no negativos, y sea $f:\mathbb Z_{\ge 0}\times \mathbb Z_{\ge 0} \to \mathbb Z_{\ge 0}$ una biyección tal que siempre que $f(x_1,y_1) > f(x_2, y_2)$ se tenga $f(x_1+1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ y $f(x_1, y_1+1) > f(x_2, y_2+1)$ . Sea $N$ el número de pares de enteros $(x,y)$ con $0\le x,y<100$ tales que $f(x,y)$ es impar. Halle los valores mínimo y máximo posibles de $N$ .

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ reales positivos con $n \geq 2$ . Para una permutación $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ de $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , defina su $\textit{score}$ como $$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{b_i^2}{b_{i+1}}.$$ Demuestre que hay dos permutaciones de $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ cuyos scores difieren en a lo sumo $3|a_1-a_n|$ .

4 Los reales positivos $a$ , $b$ y $c$ satisfacen $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} = \frac{ab+bc+ca+1}{2}$ . Demuestre que \[ \sqrt{a^2+b^2+c^2} \le 1 + \frac{\lvert a-b \rvert + \lvert b-c \rvert + \lvert c-a \rvert}{2}. \] Propuesto por Evan Chen

Determine todas las ternas $(k, m, n) $ de enteros positivos que satisfacen $$k!+m!=k!n!.$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. El punto $P$ está sobre la recta $CB$ tal que $CP=CA$ y $B$ está entre $C$ y $P$ . El punto $Q$ está sobre la recta $CD$ tal que $CQ=CA$ y $D$ está entre $C$ y $Q$ . Demuestre que el incentro del triángulo $ABD$ está sobre la recta $PQ.$

2 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle A = 60^{\circ}$ . Sean $E$ y $F$ los pies de las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ , respectivamente, y sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ . Sean $P,Q$ puntos distintos tales que $\triangle PEF$ y $\triangle QEF$ son equiláteros. Si $O$ es el circuncentro de $\triangle APQ$ , demuestre que $\overline{OI}\perp \overline{BC}$ . Propuesto por Vincent Huang

3 Halle todas las $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ , $f(x)+f(y) = f(x+y)$ y $f(x^{2013}) = f(x)^{2013}$ . Propuesto por Calvin Deng

3 Llame inscribible al par ordenado de círculos distintos $(\omega, \gamma)$ si existe un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circunferencia inscrita $\gamma$ . Demuestre que entre $n$ círculos distintos hay a lo sumo $(n/2)^2$ pares inscribibles. Propuesto por Daniel Liu

1 Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H,$ y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Suponga que $P$ y $Q$ son puntos distintos sobre el círculo con diámetro $\overline{AH},$ diferentes de $A,$ tales que $M$ está sobre la recta $PQ.$ Demuestre que el ortocentro de $\triangle APQ$ está sobre la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC.$ Propuesto por Michael Ren

5 Hay $n$ MOPpers $p_1,...,p_n$ diseñando un sistema de coche compartido para asistir a su clase matutina. El coche de cada $p_i$ tiene capacidad para $\chi (p_i)$ personas ( $\chi : \{p_1,...,p_n\} \to \{1,2,...,n\}$ ) . Un sistema de coche compartido $c$ -justo es una asignación de uno o más conductores en cada uno de varios días, tal que cada MOPper conduce $c$ veces y todos los coches están llenos cada día. (Más precisamente, es una sucesión de conjuntos $(S_1, ...,S_m)$ tal que $|\{k: p_i\in S_k\}|=c$ y $\sum_{x\in S_j} \chi(x) = n$ para todo $i,j$ . ) Suponga que resulta que un sistema de coche compartido $2$ -justo es posible pero no uno $1$ -justo. ¿Debe ser $n$ par? Propuesto por Nathan Ramesh y Palmer Mebane