Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Halle el mayor valor posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

2 La suma y el producto de dos fracciones decimales periódicas puras $a$ y $b$ son fracciones decimales periódicas puras de longitud de período $T$ . Demuestre que las longitudes de los períodos de las fracciones $a$ y $b$ no son mayores que $T$ . Nota. Una fracción decimal periódica pura es una fracción decimal periódica sin una parte inicial no periódica. darij

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC$ , sea $I$ el incentro y $M$ el punto medio del lado $BC$ . La recta por $A$ perpendicular a $AI$ interseca a la tangente desde $M$ a la circunferencia inscrita (distinta de la recta $BC$ ) en un punto $P$ > Demuestre que $AI$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MIP$ . Propuesto por Tejaswi Navilarekallu

Dos rombos $ABCD$ y $AXYZ$ son exteriores entre sí con un vértice común $A$ . Los vértices de los rombos están etiquetados en el sentido de las agujas del reloj. Si $\angle DAX = \angle BAZ$ , demuestre que los centros de los rombos y el punto medio del segmento $BZ$ forman un triángulo isósceles.

6 Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias que se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Sea $C$ un punto sobre la recta $AB$ tal que $B$ está entre $A$ y $C$ . Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , respectivamente, tales que $CP$ y $CQ$ son tangentes a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , respectivamente, $P$ no está dentro de $\mathcal{C}_2$ y $Q$ no está dentro de $\mathcal{C}_1$ . La recta $PQ$ corta a $\mathcal{C}_1$ en $R$ y a $\mathcal{C}_2$ en $S$ , ambos puntos distintos de $P$ , $Q$ y $B$ . Suponga que $CR$ corta nuevamente a $\mathcal{C}_1$ en $X$ y que $CS$ corta nuevamente a $\mathcal{C}_2$ en $Y$ . Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$ . Demuestre que $SZ$ es paralela a $QX$ si y solo si $PZ$ es paralela a $RX$ .

5 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $BC$ y $AD$ . Suponga que $\angle BDC=10^{\circ}$ y $\angle BDA=70^{\circ}$ . Demuestre que $AD^2=BC(AD+AB)$ .

4 Demuestre que $\sqrt 3$ es irracional.

1 En el triángulo $ABC$ , $\angle A=90^{\circ}$ y $M$ es el punto medio de $BC$ . El punto $D$ se elige sobre el segmento $AC$ tal que $AM=AD$ , y $P$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\Delta AMC,\Delta BDC$ . Demuestre que la recta $CP$ biseca al $\angle ACB$ .

A4 Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números reales no nulos y distintos dos a dos tales que $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = 4 \text{ and } ac = bd. $$ Demuestre que $$ \frac{a}{c} + \frac{b}{d} + \frac{c}{a} + \frac{d}{b} \leq -12 $$ y que $-12$ es el máximo.

A3 Akello divide un cuadrado en una cantidad finita de rectángulos blancos y rojos, cada (rectángulo) con lados paralelos a los lados del cuadrado original. Dentro de cada rectángulo blanco, escribe el valor de su anchura dividida por su altura, mientras que dentro de cada rectángulo rojo, escribe el valor de su altura dividida por su anchura. Finalmente, calcula $x$ , la suma de estos números. Si el área total de los rectángulos blancos es igual al área total de los rectángulos rojos, ¿cuál es el menor valor posible de $x$ que puede obtener?