2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega.$ La tangente a $\Omega$ en $D$ corta a los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ en el interior de $\triangle ABC$ de modo que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto del segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestre que las rectas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

2 Determine todos los enteros $a$ tales que $a^k + 1$ es divisible por $12321$ para algún $k$

3 Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos: a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la izquierda, y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son chicas, y los otros $n$ son chicos. Demuestre que hay una chica con al menos $k$ chicas entre sus vecinos. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia

4 Halle todos los pares de enteros positivos \( (a, b) \) tales que \( f(x) = x \) es la única función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que satisface \[ f^a(x)f^b(y) + f^b(x)f^a(y) = 2xy \quad \text{for all } x, y \in \mathbb{R}. \] Aquí, \( f^n(x) \) representa la función obtenida al aplicar \( f \) \( n \) veces a \( x \) . Es decir, \( f^1(x) = f(x) \) y \( f^{n+1}(x) = f(f^n(x))\) para todo \(n \geq 1\) .

4 Determine el mayor entero $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades: $\text{(i)}$ Cada fila contiene los números $1$ , $2$ , $\ldots$ , $100$ en algún orden. $\text{(ii)}$ Para cualesquiera dos filas distintas $r$ y $s$ , existe una columna $c$ tal que $|T(r,c) - T(s, c)|\geq 2$ . (Aquí $T(r,c)$ es la entrada en la fila $r$ y la columna $c$ . )

1 Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Se desea pintar las cuentas usando $n$ colores, de modo que entre cualesquiera $n+1$ cuentas consecutivas cada color aparezca al menos una vez. Halle el mayor valor de $m$ para el cual esta tarea es $\emph{not}$ posible. Carl Schildkraut, EE. UU.

2 Para cada entero $n\ge 1,$ calcule el menor valor posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,\dots,n\}.$ Propuesto por Shahjalal Shohag, Bangladés

3 Demuestre que $n!=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$ tiene solo un número finito de soluciones en enteros positivos. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

2019.1.1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles no rectángulo tal que $AC = BC$. Sea $D$ un punto sobre la mediatriz de $AB$ tal que $AD$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sea $E$ un punto sobre $AB$ tal que $CE$ y $AD$ son perpendiculares, y sea $F$ la segunda intersección de la recta $AC$ con la circunferencia $CDE$. Demuestra que $DF$ y $AB$ son paralelas.

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes distintas dos a dos. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices internas de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . De manera similar, sea $O_D$ el centro de la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestre que $O$ se encuentra sobre la recta $\overline{O_BO_D}$ .