1 Sean $a, b, c, d$ números reales positivos. Se sabe que se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: $$ab >\min(\frac{c}{d}, \frac{d}{c}), cd >\min(\frac{a}{b}, \frac{b}{a}).$$ Demuestre que se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: $$bd>\min(\frac{c}{a}, \frac{a}{c}), ca >\min(\frac{d}{b}, \frac{b}{d}).$$

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ sea $BL$ la bisectriz, y sea $BK$ la altura. Las rectas $BL$ y $BK$ cortan de nuevo a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $W$ y $T$ , respectivamente. Dado que $BC = BW$ , demuestre que $TL \perp BC$ .

3 Sea $n$ un entero positivo de $d$ dígitos (es decir, que tiene $d$ dígitos en su representación decimal) no divisible por $10$ . Escribiendo todos los dígitos de $n$ en orden inverso, obtenemos el número $n'$ . Determine si es posible que la representación decimal del producto $n\cdot n'$ consista únicamente de dígitos $8$ , si (a) $d = 9998$ ; (b) $d = 9999?$

4 Yasha escribe en las casillas de la tabla de $99 \times 99$ todos los enteros positivos del 1 al $99^2$ (cada número una vez). Grisha mira la tabla y selecciona varias casillas, entre las cuales no hay dos que compartan un lado común, y luego suma los números de todas las casillas seleccionadas. Halle la mayor suma que Grisha puede garantizar obtener.

8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $X$ un punto variable sobre $AC$ . La circunferencia inscrita de $\triangle ABX$ es tangente a $AX, BX$ en $K, P$ , respectivamente. La circunferencia inscrita de $\triangle BCX$ es tangente a $CX, BX$ en $L, Q$ , respectivamente. Halle el lugar geométrico de $KP \cap LQ$ .

5 Sean $a, b, c$ números reales y consideremos las tres rectas $y=ax+b, y=bx+c, y=cx+a$ . Dos de estas rectas se cortan en un punto con coordenada $x$ igual a $1$ . Demuestre que la tercera pasa por un punto con dos coordenadas enteras.

6 Dada una permutación de $1, 2, \ldots, 2023, 2024$ y dos enteros positivos $a, b$ , tales que para cualesquiera dos números adyacentes se cumple al menos una de las condiciones siguientes: 1) su suma es $a$ ; 2) el valor absoluto de su diferencia es $b$ . Halle todos los valores posibles de $b$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $B_1$ y $B_2$ puntos del segmento $AC$ simétricos con respecto al punto medio de $AC$ . Sea $\gamma_A$ la circunferencia que pasa por $B_1$ y es tangente a la recta $AB$ en $A$ . Análogamente, sea $\gamma_C$ la circunferencia que pasa por $B_1$ y es tangente a la recta $BC$ en $C$ . Sean las circunferencias $\gamma_A$ y $\gamma_C$ que se intersecan nuevamente en el punto $B'$ ( $B' \neq B_1$ ) . Demuestre que $\angle ABB' = \angle CBB_2$ .

1 Para enteros positivos dados $a$ y $b$ , consideremos la ecuación $$a + \gcd(b, x) = b + \gcd(a, x).$$ Para $a = 20$ y $b = 25$ , halle el menor entero positivo $x$ que satisface esta ecuación. Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ , existen infinitos enteros positivos $x$ que satisfacen esta ecuación. (Aquí, $\gcd(m, n)$ denota el máximo común divisor de los enteros positivos $m$ y $n$ . )

8 Demuestre que el número $1$ puede escribirse como suma de $2023$ fracciones de la forma $\frac{1}{k_i}$ , donde todos los enteros no negativos $k_i (1\leq i\leq 2023)$ son distintos.