5 Sea $n\ge 2024$ un entero. Los números complejos $z_1,z_2,\cdots ,z_n$ con módulo ${}{1}$ satisfacen \[z_1+z_2+\cdots +z_n=n-2+i.\] Determine el valor mínimo de $\text{Re}(z_1)$ . ys-lg

1 Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua que satisface $f(f(x))=(f(x))^2$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $f(100)=200$ . Halle todos los valores posibles de $f(500)$ .

1 Sean $x, y, z > 0$ tales que $xy + yz + zx = 1$ . Demuestre que $$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} +\frac{1}{\sqrt{1 + y^2}- y} +\frac{1}{\sqrt{1 + z^2}- z} \le \frac{1}{xyz}.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

1 Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen raíz entera: $$1. \,\,\, a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b) = 2023^{2024}.$$ $$2. \,\,\, a^3(b --c) + b^3(c - a) + c^3(a- b) = 2024^{2023}$$

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia con centro $M$ que pasa por $A$ . La recta $BM$ interseca a $\Gamma$ en $D$ y $E$ , donde $D$ se encuentra dentro de $ABC$ y $E$ se encuentra fuera de $ABC$ . Sea $r$ la recta perpendicular a $BC$ que pasa por $B$ , y sea $F$ la intersección de $r$ con la recta $AD$ . Demuestre que la recta $CF$ es tangente a la circunferencia $\omega$ que pasa por los puntos $B$ , $C$ y $E$ .

2 Sea $(F_n)_{n\ge 0}$ la sucesión de Fibonacci, donde $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \text{ for all } n\ge 0$ . Dados dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ , demuestre que $aF_{n+1} + F_n$ no divide a $bF_{n+1} + F_n$ para infinitos valores de $n$ .

3 Definimos una sucesión con $a_1=850$ y $$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n-1}$$ para $n\geq 1$ . Halle todos los valores de $n$ para los cuales $\lfloor a_n\rfloor =2024$ .

4 En un tablero de $n \times n$ con $n \ge 3$ , cada casilla debe colorearse de blanco o de negro. Inicialmente, todas las casillas son blancas. En cada movimiento, debemos elegir cinco casillas que formen un pentominó como el siguiente (o cualquier rotación de él) que esté completamente sobre el tablero, e invertir el color de esas cinco casillas. Determine los valores de $n$ para los cuales es posible colorear todo el tablero de negro tras un número finito de movimientos. [asy] size(3cm); // draw a unit square with bottom-left corner at (x,y) void square(pair p){ draw(p--(p+(1,0))--(p+(1,1))--(p+(0,1))--cycle); } // Top row (3 squares) square((0,2)); square((1,2)); square((2,2)); // Vertical stem (2 squares down from the center) square((1,1)); square((1,0)); [/asy]

1 Hay 101 bolas sobre una mesa, cada una coloreada con uno de 100 colores posibles, no estando necesariamente presentes todos los colores. En cada movimiento, Serena elige dos bolas del mismo color y las reemplaza por una sola bola de un color distinto, elegido entre los 99 colores restantes. Así, el número total de bolas sobre la mesa disminuye exactamente en uno en cada movimiento. Demuestre que, independientemente de la distribución inicial de los colores, Serena puede realizar una secuencia de operaciones tal que al final quede exactamente una bola sobre la mesa.

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. Denotemos por $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Elija $D$ sobre $\Gamma$ tal que $AD$ sea la $A$ - simediana de $\triangle ABC$ . Defina $B'$ sobre la recta $AB$ y $C'$ sobre la recta $AC$ de modo que $B', C'$ se encuentren sobre la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $AD$ . Sean $E$ sobre la recta $AB$ y $F$ sobre la recta $AC$ los pies de las alturas de $\triangle AB'C'$ . Demuestre que el ortocentro $H$ de $\triangle ABC$ pertenece a la recta $EF$ . Observación : La $A$ - simediana de $\triangle ABC$ es el reflejo de la $A$ - mediana de $\triangle ABC$ respecto de la bisectriz interna de $\angle BAC$ .