2 Sea $n$ un número natural coprimo con $6$ y sean $a_1$ , $a_2\dots,a_n$ ; $b_1$ , $b_2,\dots,b_n$ sucesiones de números naturales tales que $a_1< a_2<\dots< a_n$ ; $b_1< b_2<\dots< b_n$ . Si para cualquier número natural $t$ el número de ternas tales que $a_i+a_j+a_k=t$ , $(i< j< k)$ es igual al número de ternas tales que $b_i+b_j+b_k=t$ , $(i< j< k)$ , demuestre que $$a_1=b_1,\,\,\, a_2=b_2\,\,\, \dots \,\,\, a_n=b_n$$

3 Dado un círculo $\omega$ . Este círculo es tangente interiormente a $6$ círculos, y cualesquiera dos círculos adyacentes son tangentes entre sí. Sean los puntos de tangencia de estos seis círculos con $\omega$ los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ y $F$ . Demuestre entonces que las diagonales principales $AD$ , $BE$ y $CF$ del $6$ -gono $ABCDEF$ se intersecan en un punto.

4 Para números reales positivos $x$ , $y$ , $z$ con $x+y+z=1$ , demuestre que \[\dfrac{\sqrt{xyz}}{x^2+y^2+z^2-x^3-y^3-z^3}\le\sqrt{\dfrac{xy}{(1-z)^2}+\dfrac{yz}{(1-x)^2}+\dfrac{zx}{(1-y)^2}}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

5 Se trazan las bisectrices $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ del triángulo $ABC$ . Sea $AA_1\cap B_1C_1=X$ y sea $Y$ el pie de la perpendicular trazada desde $X$ a $BC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\measuredangle BC_1Y$ y $\measuredangle CB_1Y$ . Demuestre entonces que los puntos $A$ , $Y$ y $Z$ están sobre la misma recta.

3 Dado un entero positivo $ k$ . Demuestre que existe un entero positivo $ n$ que tiene exactamente $ k$ divisores primos y tal que $ 2^{n^2}+1$ es divisible por $ n^3$ .

4 Sean $a_1, a_2, \cdots, a_n$ números reales. Demuestre que: $\sum_{k=1}^{n+1} (a_k-a_{k-1})^2 \le 2(1+ \cos \frac{\pi}{n+1} )\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ , donde $a_0 = a_{n+1} = 0$ .

1 Dado un triángulo acutángulo $ ABC$ tal que $ AB\neq AC$ . Trace la perpendicular $ AH$ desde $ A$ a $ BC$ . Suponga que si tomamos los puntos $ P,\ Q$ de manera que los tres puntos $ A,\ B,\ P$ y los tres puntos $ A,\ C,\ Q$ son colineales en este orden, respectivamente, entonces los cuatro puntos $ B,\ C,\ P,\ Q$ son concíclicos y $ HP = HQ$ . Demuestre que $ H$ es el circuncentro de $ \triangle{APQ}$ .

4 Sean $ x,\ y,\ z$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac {1 + yz + zx}{(1 + x + y)^2} + \frac {1 + zx + xy}{(1 + y + z)^2} + \frac {1 + xy + yz}{(1 + z + x)^2}\geq 1\]

3 Hay $2010$ islas y $2009$ puentes que las conectan. Suponga que cualesquiera dos islas están conectadas por un puente o no lo están, que los extremos de cada puente están conectados a 2 islas distintas y que se puede viajar de cada isla a cualquier otra isla cruzando puentes varias veces. Ahora bien, desde cada isla se envió una carta a alguna isla; nótese que alguna carta pudo ser enviada a la misma isla; entonces se demostró el siguiente hecho: En el caso de conectar la isla $A$ y la isla $B$ mediante un puente, el habitante de la isla $A$ y el de la isla $B$ están mutuamente conectados por un puente o son la misma isla (ella misma). Demuestre que al menos una de las siguientes afirmaciones (1) o (2) se cumple. (1) Existe una isla a la cual se envió una carta a la misma isla. (2) Existen 2 islas conectadas por un puente cuyas cartas fueron intercambiadas entre sí.

5 Dado un polígono convexo de $2010$ lados tal que cualesquiera 3 diagonales no tienen puntos de intersección salvo los vértices. Considere líneas poligonales cerradas que tienen $2010$ diagonales (sin incluir los lados) y que pasan por cada vértice exactamente una vez. Halle el valor máximo posible del número de autointersecciones. Nótese que llamamos líneas poligonales cerradas a aquellas tales que la línea poligonal $P_1P_2\cdots P_nP_{n+1}$ tiene la propiedad $P_1=P_{n+1}.$