10 Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demuestre que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisface la siguiente propiedad: Para todo $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ se puede particionar en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, siendo uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$ .

11 Dada una circunferencia $\omega$ de radio $1$ . Digamos que un conjunto $T$ de triángulos es bueno si se cumplen las siguientes condiciones: (a) la circunferencia circunscrita de cada triángulo del conjunto $T$ es $\omega$ ; (b) el interior de cualesquiera dos triángulos del conjunto $T$ no tiene puntos en común. Halle todos los números reales positivos $t$ para los cuales, para cada entero positivo $n$ , existe un conjunto bueno de $n$ triángulos en el que el perímetro de cada triángulo es mayor que $t$ .

12 Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una sucesión de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para todo $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ que satisface \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] . Halle el máximo valor posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

2024.2.3 Sea $ABC$ un triángulo con lados y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea la paralela a $AC$ por $B$ que corta a $\Gamma$ en $D$, y la paralela a $AB$ por $C$ que corta a $\Gamma$ en $E$. Sean $P$ y $Q$ las intersecciones de las rectas $AB$ y $CD$, y de las rectas $AC$ y $BE$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $DE$. Sean $X$ y $S$ las intersecciones de la recta $AM$ con la circunferencia $\Gamma$ y con la recta $PQ$, y sea $Y$ la otra intersección de la recta $PQ$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $BCS$. Demuestra que las rectas $BQ$, $CP$ y $XY$ se cortan en un punto.

1 Hay puntos distintos $O, A, B, K_1, . . . , K_n, L_1, . . . , L_n$ en un plano tales que no hay tres puntos colineales. Los segmentos abiertos $K_1L_1, . . . , K_nL_n$ están coloreados de rojo; los demás puntos del plano quedan sin colorear. Un camino permitido desde el punto $O$ hasta el punto $X$ es una cadena poligonal con primer y último vértice en los puntos $O$ y $X$ , que no contiene puntos rojos. Por ejemplo, para $n = 1$ , con $K_1 = (-1, 0)$ , $L_1 = (1, 0)$ , $O = (0,-1)$ y $X = (0,1)$ , $OK_1X$ y $OL_1X$ son ejemplos de caminos permitidos de $O$ a $X$ ; no hay caminos permitidos más cortos. Halle el menor entero positivo n tal que sea posible que el primer vértice que no es $O$ en todo camino permitido más corto posible de $O$ a $A$ esté más cerca de $B$ que de $A$ , y que el primer vértice que no es $O$ en todo camino permitido más corto posible de $O$ a $B$ esté más cerca de $A$ que de $B$ .

4 Halle todas las funciones $f : R \to R$ que satisfacen $f (xy + f(xy)) = 2x f(y)$ para todos $x, y \in R$

3 Dados un número real $c$ y un entero $m, m \ge 2$ . Los números reales $x_1, x_2,... , x_m$ satisfacen las condiciones $x_1 + x_2 +...+ x_m = 0$ y $\frac{x^2_1 + x^2_2 + ...+ x^2_m}{m}= c$ . Halle max $(x_1, x_2,..., x_m)$ si se sabe que es lo más pequeño posible.

5 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . La recta $OA$ interseca las alturas de $ABC$ trazadas por $B$ y $C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las alturas se cortan en $H$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $PQH$ se encuentra sobre una mediana del triángulo $ABC$ .

6 Llamamos brillante a un entero positivo $n$ cuyas cifras son todas distintas si $n$ es un número de una cifra o existe un divisor de $n$ que se puede obtener omitiendo una cifra de $n$ y que es brillante en sí mismo. Halle el mayor entero positivo brillante. (Suponemos que los números no comienzan con cero.)

7 Sea $AD$ la altura de un triángulo acutángulo $ABC$ . En la recta $AD$ se eligen puntos distintos $E$ y $F$ de modo que $|DE |= |DF|$ y el punto $E$ está en el interior del triángulo $ABC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$ interseca a $BC$ y $BA$ por segunda vez en los puntos $K$ y $M$ respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $CEF$ interseca a $CB$ y $CA$ por segunda vez en los puntos $L$ y $N$ respectivamente. Demuestre que las rectas $AD, KM$ y $LN$ se intersecan en un mismo punto.