4 En un triángulo $ABC$ , sean $H_a$ , $H_b$ y $H_c$ los pies de las alturas sobre los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Determine para cuáles triángulos $ABC$ dos de las longitudes $H_aH_b$ , $H_bH_c$ y $H_aH_c$ son iguales. Martin N.

2 Determine todas las soluciones enteras $(x, y)$ de la ecuación \[(x - 1)x(x + 1) + (y - 1)y(y + 1) = 24 - 9xy\mbox{.}\] Martin N.

1 Demuestre que la desigualdad \[ a + a^3 - a^4 - a^6 < 1\] se cumple para todos los números reales $a$ . Martin N.

1 Halle el mayor intervalo $ M \subseteq \mathbb{R^ + }$ tal que, para todos los $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d \in M$ , se cumple la desigualdad \[ \sqrt {ab} + \sqrt {cd} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {c + d}\] . ¿Se cumple también la desigualdad \[ \sqrt {ab} + \sqrt {cd} \ge \sqrt {a + c} + \sqrt {b + d}\] para todos los $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d \in M$ ? ( $ \mathbb{R^ + }$ denota el conjunto de los números reales positivos.)

2 ¿Cuántas soluciones enteras $ (x_0$ , $ x_1$ , $ x_2$ , $ x_3$ , $ x_4$ , $ x_5$ , $ x_6)$ tiene la ecuación \[ 2x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2=9\] ?

4 Dos progresiones aritméticas infinitas se denominan esencialmente diferentes si no solo difieren por la ausencia de finitamente muchos términos al comienzo de una de las sucesiones. ¿Cuántas progresiones aritméticas no constantes de enteros positivos, esencialmente diferentes dos a dos, contienen una progresión geométrica no constante infinita $ (b_n)_{n\ge0}$ con $ b_2=40 \cdot 2009$ ?

2 Para un número real $ x$ , $ [x]$ es el entero inmediatamente menor que $ x$ , es decir, el entero $ g$ con $ g\leqq<g+1$ , y $ \{x\}=x-[x]$ es la “parte decimal” de $ x$ . Determine todas las ternas $ (a,b,c)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \{a\}+[b]+\{c\}=2,9\] \[ \{b\}+[c]+\{a\}=5,3\] \[\{c\}+[a]+\{b\}=4,0\]

3 Se da un triángulo acutángulo $ ABC$ . Determine todos los puntos $ P$ en el interior del triángulo con \[1\leq\frac{\angle APB}{\angle ACB},\frac{\angle BPC}{\angle BAC},\frac{\angle CPA}{\angle CBA}\leq2\]

4 Para todo entero positivo $ n$ sea \[ a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{(2k+1)^n}{k}\] Muestre que no existe ningún $ n$ para el cual $ a_n$ sea un entero no negativo.

1 Sean $ 0<x_0,x_1, \dots , x_{669}<1$ números reales distintos dos a dos. Muestre que existe un par $ (x_i,x_j)$ con $ 0<x_ix_j(x_j-x_i)<\frac{1}{2007}$