7 En un triángulo acutángulo y no isósceles $ABC,$ trazamos la mediana $AM$ y la altura $AH.$ Los puntos $Q$ y $P$ se marcan sobre las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente, de modo que $QM \perp AC$ y $PM \perp AB$ . La circunferencia circunscrita de $PMQ$ interseca la recta $BC$ por segunda vez en el punto $X.$ Demuestre que $BH = CX.$ M. Didin

1 El paralelogramo $ABCD$ es tal que el ángulo $B < 90$ y $AB<BC$ . Los puntos E y F están sobre la circunferencia de $\omega$ circunscrita al triángulo ABC, de modo que las tangentes a $\omega$ en esos puntos pasan por D. Si $\angle EDA= \angle{FDC}$ , halle $\angle{ABC}$ .

2 Sergei elige dos números naturales distintos $a$ y $b$ . Escribe cuatro números en un cuaderno: $a$ , $a+2$ , $b$ y $b+2$ . Luego escribe en el pizarrón los seis productos por pares de los números del cuaderno. Sea $S$ el número de cuadrados perfectos en el pizarrón. Halle el valor máximo de $S$ . S. Berlov

4 Se da $N$ tal que $ n \ge 3$ . Llamamos aceptable a un conjunto de $N$ puntos en el plano si sus abscisas son todas distintas, y cada uno de los puntos está coloreado de rojo o de azul. Digamos que un polinomio $P(x)$ divide a un conjunto de puntos aceptable si no hay puntos rojos por encima de la gráfica de $P(x)$ y por debajo no hay puntos azules, o si no hay puntos azules por encima de la gráfica de $P(x)$ y no hay puntos rojos por debajo. Tenga en cuenta que puede haber puntos de ambos colores sobre la propia gráfica de $P(x)$ . ¿Para cuál valor mínimo de k un conjunto arbitrario de $N$ puntos es divisible por un polinomio de grado $k$ ?

5 Una pulga inmortal salta sobre los puntos enteros de la recta numérica, comenzando en $0$ . La longitud del primer salto es $3$ , la del segundo $5$ , la del tercero $9$ , y así sucesivamente. La longitud del $k^{\text{th}}$ salto es igual a $2^k + 1$ . La pulga decide por sí misma si saltar a la izquierda o a la derecha. ¿Es posible que tarde o temprano la pulga haya estado en todo punto natural, habiendo visitado quizás algunos puntos más de una vez?

7 Un triángulo escaleno $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ . La tangente a la circunferencia en el punto $C$ interseca la recta $AB$ en el punto $D$ . Sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita en $\triangle ABC$ . Las rectas $AI$ y $BI$ intersecan la bisectriz de $\angle CDB$ en los puntos $Q$ y $P$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $QP$ . Demuestre que $MI$ pasa por el punto medio del arco $ACB$ de la circunferencia $\omega$ .

8 Se dan números naturales $a$ y $b$ tales que $a<b<2a$ . Algunas celdas de una cuadrícula están coloreadas de modo que en todo rectángulo de dimensiones $A \times B$ o $B \times A$ al menos una celda esté coloreada. ¿Para cuál mayor $\alpha$ se puede afirmar que para todo número natural $N$ se puede encontrar un cuadrado $N \times N$ en el que al menos $\alpha \cdot N^2$ celdas estén coloreadas?

1 En una circunferencia hay $99$ números naturales. Si $a,b$ son dos números vecinos cualesquiera en la circunferencia, entonces $a-b$ es igual a $1$ o $2$ , o bien $ \frac{a}{b}=2 $ . Demuestre que existe un número natural en la circunferencia que es divisible por $3$ . S. Berlov

3 En un $n$ - gono convexo se trazan varias diagonales. Entre estas diagonales, una diagonal se llama buena si interseca exactamente a otra diagonal trazada (en el interior del $n$ - gono). Halle el número máximo de diagonales buenas.

6 Sean a,b,c,d números reales que satisfacen $|a|,|b|,|c|,|d|>1$ y $abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0$ . Demuestre que $\frac {1} {a-1}+\frac {1} {b-1}+ \frac {1} {c-1}+ \frac {1} {d-1} >0$