1 Determine todos los números de 6 cifras $(abcdef)$ tales que $(abcdef) = (def)^2$ , donde $\left( x_1x_2...x_n \right)$ no es una multiplicación sino un número de n cifras.

1 Escriba el número 1997 como suma de enteros positivos cuyo producto sea máximo, y demuestre que no existe una mejor solución.

1 Cuatro parejas juegan ajedrez juntas. Para la partida, se emparejan de la siguiente manera: ("man Clara" indica el marido de Clara, etc.) \[Bea \Longleftrightarrow Eddy\] \[An \Longleftrightarrow man\ Clara\] \[Freddy \Longleftrightarrow woman\ Guy\] \[Debby \Longleftrightarrow man\ An\] \[Guy \Longleftrightarrow woman\ Eddy\] ¿Con quién está casado $Hubert$ ?

4 Se da un $n$ -ágono regular inscrito en un círculo de radio 1, donde $n > 3$ . Defina $G(n)$ como la longitud promedio de las diagonales de este $n$ -ágono. Demuestre que si $n \rightarrow \infty, G(n) \rightarrow \frac{4}{\pi}$ .

3 Los puntos $A,B,C,D$ están sobre un círculo de radio $R$ . $|AC|=|AB|=500$ , mientras que la razón entre $|DC|, |DA|, |DB|$ es $1,5,7$ . Halle $R$ .

4 Una mesa de billar (véase la imagen). Una bola blanca está en $p_1$ y una bola roja está en $p_2$ . La bola blanca se lanza hacia la bola roja como se muestra en la imagen, golpeando primero 3 lados. Halle la distancia mínima que debe recorrer la bola. https://2.bp.blogspot.com/-3GaeUhsJPnI/XWuvrrdKJtI/AAAAAAAAKpE/_-5AW3nyj-khi_skQVlz2STjFNaUpi7MACK4BGAYYCw/s400/1998%2Bflandres%2Bp4.png

1 Sean $a,b,c>0$ los lados de un triángulo rectángulo. Halle todos los $x$ reales para los cuales $a^x>b^x+c^x$ , con $a$ el lado más largo.

2 Al trazar todas las diagonales de un pentágono regular, se obtiene un pentágono más pequeño en el medio. ¿Cuál es la razón de las áreas de esos pentágonos?

4 Defina la sucesión $oa_n$ de la siguiente manera: $oa_0=1, oa_n= oa_{n-1} \cdot cos\left( \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \right)$ . Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} oa_n$ .

3 Dos tetraedros regulares $A$ y $B$ se construyen con los 8 vértices de un cubo unitario. (esta manera es única) ¿Cuál es el volumen de $A\cup B$ ?