2 Una escuela envió estudiantes para competir en una olimpiada académica en $11$ materias distintas, cada una formada por $5$ estudiantes. Dado que para cualesquiera $2$ materias distintas existe un estudiante que compite en ambas materias, demuestre que existe un estudiante que compite en al menos $4$ materias distintas.

4 Sean $D,E$ y $F$ los puntos de tangencia del incentro de $\triangle ABC$ con $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente. Sean $P,Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AFE, BDF$ y $CED$ , respectivamente. Demuestre que $DP, EQ$ y $FR$ son concurrentes.

5 En una clase hay $n \geqslant 3$ estudiantes y una profesora con $M$ canicas. La profesora juega entonces a repartir canicas según las siguientes reglas. Al inicio, la profesora reparte todas sus canicas entre los estudiantes, de modo que cada estudiante reciba al menos $1$ canica de la profesora. Luego, la profesora elige a un estudiante, que nunca haya sido elegido antes, tal que el número de canicas que posee sea un múltiplo de $2(n-1)$ . Ese estudiante elegido reparte entonces equitativamente la mitad de sus canicas entre los otros $n-1$ estudiantes. El proceso continúa hasta que la profesora ya no puede elegir más estudiantes. Halle todos los enteros $M$ tales que, para algunos números iniciales de canicas que reciben los estudiantes, la profesora pueda elegir a todos los estudiantes (según la regla anterior), de modo que al final cada estudiante reciba la misma cantidad de canicas.

7 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ . La tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $A$ interseca a $BC$ en $D$ . La bisectriz de $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $E$ . Suponga que la mediatriz de $AE$ interseca a $AB, AC$ en $P,Q$ , respectivamente. Demuestre que $$\sqrt{\frac{BP}{CQ}} = \frac{AC \cdot BD}{AB \cdot CD}$$

8 Para cada sucesión de enteros $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ , un intercambio de paridad simple consiste en elegir $2$ términos de esta sucesión, digamos $a_i$ y $a_j$ , tales que $a_i + a_j$ sea impar, y luego intercambiar sus posiciones, mientras los demás términos permanecen en su lugar. Esto crea una nueva sucesión. Halle el número mínimo de intercambios de paridad simples para transformar la sucesión $1,2,3, \dots, 2025$ en $2025, \dots, 3, 2, 1$ , usando solo intercambios de paridad simples.

3 Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales positivos tales que $ay+bz+cx \le az+bx+cy$ . Demuestre que $$ \frac{xy}{ax+bx+cy}+\frac{yz}{by+cy+az}+\frac{zx}{cz+az+bx} \le \frac{x+y+z}{a+b+c}$$

1 Un tablero de ajedrez con algunas casillas unitarias marcadas se llama $\textit{good board}$ si para cualquier par de filas \((s, t)\) , una torre colocada en una casilla marcada de la fila \(s\) puede alcanzar una casilla marcada de la fila \(t\) en varias jugadas moviéndose solo a casillas marcadas que estén arriba, abajo o a la derecha de su posición actual. Considere un tablero de ajedrez con 220 filas y 12 columnas, donde exactamente 9 casillas unitarias de cada fila están marcadas. Independientemente de cómo se elijan las casillas marcadas, si es posible eliminar \(k\) columnas y reordenar las columnas restantes para formar un $\textit{good board}$ , determine el máximo valor posible de \(k\) .

2 ¿Existe una sucesión de números reales positivos $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ que satisfaga: \[ \sum_{i=1}^{n} a_i \geq n^2 \quad \text{and} \quad \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \leq n^3 + 2025n \] para todos los enteros positivos $n$ ?

3 Para un entero positivo $n$ , sea $S_n$ el conjunto de los enteros positivos que no superan a $n$ y son coprimos con $n$ . Defina $f(n)$ como el menor entero positivo que permite particionar $S_n$ en $f(n)$ subconjuntos disjuntos, cada uno formando una progresión aritmética. Demuestre que existen infinitos pares $(a, b)$ que satisfacen $a, b > 2025$ , $a \mid b$ y $f(a) \nmid f(b)$ .

4 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que el número \[ \frac{3 + \sqrt{4n + 9}}{2} \] sea el sexto divisor positivo más pequeño de $n$ .