1 Considere pares de sucesiones de números reales positivos \[a_1\geq a_2\geq a_3\geq\cdots,\qquad b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\] y las sumas \[A_n = a_1 + \cdots + a_n,\quad B_n = b_1 + \cdots + b_n;\qquad n = 1,2,\ldots.\] Para cada par defina $c_n = \min\{a_i,b_i\}$ y $C_n = c_1 + \cdots + c_n$ , $n=1,2,\ldots$ . (1) ¿Existe un par $(a_i)_{i\geq 1}$ , $(b_i)_{i\geq 1}$ tal que las sucesiones $(A_n)_{n\geq 1}$ y $(B_n)_{n\geq 1}$ sean no acotadas mientras que la sucesión $(C_n)_{n\geq 1}$ sea acotada? (2) ¿Cambia la respuesta a la pregunta (1) si se supone adicionalmente que $b_i = 1/i$ , $i=1,2,\ldots$ ? Justifique su respuesta. darij

3 Sea $N$ un número natural y $x_1, \ldots , x_n$ números naturales adicionales menores que $N$ y tales que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos de estos $n$ números es mayor que $N$ . Demuestre que la suma de los recíprocos de estos $n$ números es siempre menor que $2$ : $\sum^n_{i=1} \frac{1}{x_i} < 2.$

1 Halle todas las funciones $f$ de los reales en los reales tales que \[f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\] para todos los reales $x,y$ .

3 Determine todos los $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ que satisfacen $x^{2y} + (x+1)^{2y} = (x+2)^{2y}.$

1 Sean $E$ y $F$ sobre $AC$ y $AB$ respectivamente en $\triangle ABC$ tales que $DE || BC$ ; luego trace la recta $l$ que pasa por $A$ tal que $l || BC$ ; sean $D'$ y $E'$ los reflejos de $D$ y $E$ respecto de $l$ , respectivamente; demuestre que $D'B, E'C$ y $l$ son concurrentes.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera valores reales de $x,y$ se tiene: $$f(xf(y)+f(x)+y)=xy+f(x)+f(y)$$

3 Demuestre que no existe un entero positivo $n$ tal que, para $k = 1,2,\ldots,9$ , el dígito más a la izquierda (en notación decimal) de $(n+k)!$ sea igual a $k$ .

1 Sea $P$ el conjunto de todos los pares ordenados $ \left(p,q\right)$ de enteros no negativos. Halle todas las funciones $f: P \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q) = \begin{cases} 0 & \text{if} \; pq = 0, \\ 1 + \frac{1}{2} f(p+1,q-1) + \frac{1}{2} f(p-1,q+1) & \text{otherwise} \end{cases} \] Compare con el problema 2001 de la lista corta de la IMO, álgebra A1, para el caso de tres variables.

2 Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado sobre el lado $BC$ . Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está sobre el lado $AB$ y el otro sobre $AC$ . Los puntos $B_1,\ C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices sobre los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ son concurrentes.

1 Determine el número de todos los números que se representan como $x^2+y^2$ con $x, y \in \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ y que son divisibles por 121.