8 Hay $12$ miembros en un club. Los miembros crearon algunos grupos pequeños, que satisfacen lo siguiente: - El grupo pequeño consta de $3$ o $4$ personas. - Además, para dos miembros arbitrarios, existe exactamente un grupo pequeño que contiene a ambos miembros. Demuestre que todos los miembros están en el mismo número de grupos pequeños.

1 Una sucesión $a_1,a_2,...,a_{2007}$ con $a_i \in\{2,3\}$ para $i = 1,2,...,2007$ y una sucesión de enteros $x_1,x_2,...,x_{2007}$ satisfacen lo siguiente: $a_ix_i + x_{i+2 }\equiv 0$ ( $mod 5$ ) , donde los índices se toman módulo $2007$ . Demuestre que $x_1,x_2,...,x_{2007}$ son todos múltiplos de $5$ .

3 Considere las cadenas de longitud $6$ compuestas por tres caracteres $a, b, c$ . Para cada cadena, si dos $a$ están una al lado de la otra, o dos $b$ están una al lado de la otra, entonces reemplace $aa$ por $b$ y reemplace $bb$ por $a$ . Además, si $a$ y $b$ están una al lado de la otra, o dos $c$ están una al lado de la otra, elimine ambos (es decir, borre $ab, ba, cc$ ) . Determine el número de cadenas que pueden reducirse a $c$ , la cadena de longitud $1$ , mediante los procesos de reducción mencionados anteriormente.

4 Sea $P$ un punto interior de $\triangle ABC$ . Sean las mediatrices de $PA,PB,PC$ las rectas $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Sean $D =\ell_1 \cap \ell_2$ , $E=\ell_2 \cap \ell_3$ , $F=\ell_3 \cap \ell_1$ . Si $A,B,C,D,E,F$ se encuentran en una circunferencia, demuestre que $C, P,D$ son colineales.

7 Sea la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ que corta a $BC,CA,AB$ en $J,K,L$ . Sean $D(\ne B, J),E(\ne C,K), F(\ne A,L)$ puntos en $BJ,CK,AL$ . Si el incentro de $\triangle ABC$ es el circuncentro de $\triangle DEF$ y $\angle BAC = \angle DEF$ , demuestre que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son triángulos isósceles.

6 Para todos los reales $a, b, c,d $ demuestre la siguiente desigualdad: $$\frac{a + b + c + d}{(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)(1 + d^2)}< 1$$

2 Halle todos los enteros positivos que pueden escribirse de la siguiente manera $\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ . Además, $a,b, c$ son enteros positivos que son relativamente primos por pares.

3 En una circunferencia $O$ hay seis puntos, $A,B,C,D,E, F$ , en orden antihorario. $BD \perp CF$ y $CF,BE,AD$ son concurrentes. Sea el pie de la perpendicular trazada desde $B$ a $AC$ el punto $M$ y sea el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $CE$ el punto $N$ . Demuestre que $AE // MN$ .

4 En el plano coordenado, defina $M = \{(a, b),a,b \in Z\}$ . Una transformación $S$ , definida sobre $M$ , envía $(a,b)$ a $(a + b, b)$ . La transformación $T$ , también definida sobre $M$ , envía $(a, b)$ a $(-b, a)$ . Demuestre que para todo $(a, b) \in M$ , podemos usar $S,T$ para transformarlo en $(g,0)$ .

5 Halle todos los enteros positivos que pueden escribirse de la siguiente manera $\frac{m^2 + 20mn + n^2}{m^3 + n^3}$ Además, $m,n$ son enteros positivos relativamente primos.