4 Halle el menor entero positivo $n$ , o demuestre que tal $n$ no existe, con la siguiente propiedad: hay infinitas $n$ - uplas distintas de números racionales positivos $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ tales que tanto $$a_1+a_2+\dots +a_n \quad \text{and} \quad \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ son enteros.

1 Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Suponga que $H$ se encuentra dentro del cuadrilátero $BMNC$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMH$ y $CNH$ son tangentes entre sí. La recta que pasa por $H$ paralela a $BC$ interseca las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMH$ y $CNH$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Sea $F$ el punto de intersección de $MK$ y $NL$ , y sea $J$ el incentro del triángulo $MHN$ . Demuestre que $F J = F A$ .

2 Sean $f(x)$ y $g(x)$ definidas por $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-4} + \cdots + \frac{1}{x-2018}$ $g(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \cdots + \frac{1}{x-2017}$ . Demuestre que $|f(x)-g(x)| >2$ para cualquier número real no entero $x$ que satisfaga $0 < x < 2018$ .

3 Una colección de $n$ cuadrados en el plano se llama triconectada si se satisfacen los siguientes criterios: (i) Todos los cuadrados son congruentes. (ii) Si dos cuadrados tienen un punto $P$ en común, entonces $P$ es un vértice de cada uno de los cuadrados. (iii) Cada cuadrado toca exactamente a otros tres cuadrados. ¿Cuántos enteros positivos $n$ hay con $2018\leq n \leq 3018$ tales que exista una colección de $n$ cuadrados que sea triconectada?

4 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Desde el vértice $A$ trazamos un rayo hacia el interior del triángulo de modo que el rayo alcance uno de los lados del triángulo. Cuando el rayo alcanza un lado, rebota siguiendo la ley de reflexión, es decir, si llega con un ángulo dirigido $\alpha$ , sale con un ángulo dirigido $180^{\circ}-\alpha$ . Después de $n$ rebotes, el rayo regresa a $A$ sin haber pasado nunca por ninguno de los otros dos vértices. Halle todos los valores posibles de $n$ .

5 Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todos los números reales $s$ y $t$ , si $P(s)$ y $P(t)$ son ambos enteros, entonces $P(st)$ también es un entero.

2 Sir Alex juega el siguiente juego en una fila de 9 casillas. Inicialmente, todas las casillas están vacías. En cada movimiento, a Sir Alex se le permite realizar exactamente una de las siguientes dos operaciones: Elegir cualquier número de la forma $2^j$ , donde $j$ es un entero no negativo, y colocarlo en una casilla vacía. Elegir dos casillas (no necesariamente adyacentes) que contengan el mismo número; denote ese número por $2^j$ . Reemplazar el número en una de las casillas por $2^{j+1}$ y borrar el número de la otra casilla. Al final del juego, una casilla contiene $2^n$ , donde $n$ es un entero positivo dado, mientras que las demás casillas están vacías. Determine el número máximo de movimientos que Sir Alex podría haber realizado, en términos de $n$ . Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ p \geq 2$ un número primo. Eduardo y Fernando juegan el siguiente juego realizando movimientos alternadamente: en cada movimiento, el jugador actual elige un índice $i$ del conjunto $\{0,1,2,\ldots, p-1 \}$ que no haya sido elegido antes por ninguno de los dos jugadores, y luego elige un elemento $a_i$ del conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Eduardo hace el primer movimiento. El juego termina después de que todos los índices hayan sido elegidos. Entonces se calcula el siguiente número: $$M=a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{p-1}10^{p-1}= \sum_{i=0}^{p-1}a_i.10^i$$ . El objetivo de Eduardo es hacer que $M$ sea divisible por $p$ , y el objetivo de Fernando es impedirlo. Demuestre que Eduardo tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Amine Natik, Marruecos

2 Sea $n$ un entero positivo. Definimos un camaleón como cualquier sucesión de $3n$ letras, con exactamente $n$ apariciones de cada una de las letras $a, b,$ y $c$ . Definimos un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestre que para cualquier camaleón $X$ , existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede transformarse en $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

3 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita con centro $I$ . Sean $I_a, I_b, I_c$ e $I_d$ los incentros de los triángulos $DAB, ABC, BCD$ y $CDA$ , respectivamente. Suponga que las tangentes exteriores comunes de las circunferencias $AI_bI_d$ y $CI_bI_d$ se cortan en $X$ , y que las tangentes exteriores comunes de las circunferencias $BI_aI_c$ y $DI_aI_c$ se cortan en $Y$ . Demuestre que $\angle{XIY}=90^{\circ}$ .