3 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que el número $A_n =\frac{ 2^{4n+2}+1}{65}$ es a) un entero, b) un primo.

C3 Hay $200$ cajas sobre la mesa. Al principio, cada una de las cajas contiene un entero positivo (los enteros no son necesariamente distintos). Cada minuto, Alice hace un movimiento. Un movimiento consiste en lo siguiente. Primero, ella elige una caja $X$ que contiene un número $c$ tal que $c = a + b$ para algunos números $a$ y $b$ que están contenidos en otras cajas. Luego elige un entero positivo $k > 1$ . Finalmente, retira $c$ de $X$ y lo reemplaza por $kc$ . Si no puede hacer ningún movimiento, se detiene. Demuestre que no importa cómo Alice haga sus movimientos, ella no podrá hacer infinitos movimientos.

C2 Sea $n \ge 2$ un entero. Alex escribe los números $1, 2, ..., n$ en algún orden sobre una circunferencia de modo que dos vecinos cualesquiera sean coprimos. Luego, para dos números cualesquiera que no sean coprimos, Alex traza un segmento entre ellos. Para cada uno de tales segmentos $s$ denotamos por $d_s$ la diferencia de los números escritos en sus extremos y por $p_s$ el número de todos los demás segmentos trazados que intersecan a $s$ en su interior. Halle el mayor $n$ para el cual Alex puede escribir los números en la circunferencia de modo que $p_s \le |d_s|$ , para cada segmento trazado $s$ .

C1 Ana y Bob, comenzando Ana primero, colorean alternadamente de rojo o azul los enteros del conjunto $S = \{1, 2, ..., 2022 \}$ . En su turno, cada uno puede colorear cualquier número sin colorear de $S$ que desee con cualquier color que desee. El juego termina cuando todos los números de $S$ quedan coloreados. Sea $N$ el número de pares $(a, b)$ , donde $a$ y $b$ son elementos de $S$ , tales que $a$ , $b$ tienen el mismo color, y $b - a = 3$ . Ana desea maximizar $N$ . ¿Cuál es el valor máximo de $N$ que puede alcanzar independientemente de cómo juegue Bob?

A6 Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ . Demuestre que $$\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{b^2 + c^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2}{2ca} + \frac{2(ab + bc + ca)}{3} \ge 5 + |(a - b)(b - c)(c - a)|.$$

29 Sean $A,B,C,D$ puntos en el espacio. Si para todo punto $M$ sobre el segmento $AB$ la suma \[S_{AMC}+S_{CMD}+S_{DMB}\] es constante, muestre que los puntos $A,B,C,D$ yacen en el mismo plano. Nota. Nota. $S_X$ denota el área del triángulo $X.$ Amir

A5 Los números $2, 2, ..., 2$ están escritos en un pizarrón (el número $2$ se repite $n$ veces). Un paso consiste en elegir dos números del pizarrón, denotarlos como $a$ y $b$ , y reemplazarlos por $\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}$ . $(a)$ Si $x$ es el número que queda en el pizarrón después de $n - 1$ aplicaciones de la operación anterior, demuestre que $x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}$ . $(b)$ Demuestre que hay infinitos números para los cuales se cumple la igualdad e infinitos para los cuales la desigualdad es estricta.

A3 Sean $a,b,c$ números reales positivos . Demuestre que $$ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)}\geq\frac{3}{(1+abc)^2}.$$

A1 Halle todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$

30 Demuestre que para cualquier n natural, el número \[ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k} \] no puede ser dividido por $5$ .