12.3 Sea $n$ un entero positivo y sea $\mathcal{A}$ una familia de subconjuntos no vacíos de $\{1, 2, \ldots, n \}$ tal que si $A \in \mathcal{A}$ y $A$ es subconjunto de un conjunto $B\subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ , entonces $B$ también está en $\mathcal{A}$ . Demuestre que la función $$f(x):=\sum_{A \in \mathcal{A}} x^{|A|}(1-x)^{n-|A|}$$ es estrictamente creciente para $x \in (0,1)$ .

5 En el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ y $AB+AC=2BC$ , sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Elija el punto $P$ en la prolongación de $\overline{BA}$ más allá de $A$ y el punto $Q$ en el segmento $\overline{AC}$ tales que $M$ esté en $\overline{PQ}$ . Sea $X$ en el lado opuesto de $\overline{AB}$ respecto de $C$ tal que $\overline{AX} \parallel \overline{BC}$ y $AX=AP=AQ$ . Sea $\overline{BX}$ cortando a la circunferencia circunscrita de $BMQ$ nuevamente en $Y \neq B$ , y sea $\overline{CX}$ cortando a la circunferencia circunscrita de $CMP$ nuevamente en $Z \neq C$ . Demuestre que $A$ , $Y$ y $Z$ son colineales. Tiger Zhang

4 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de sucesiones $a_0,a_1,a_2,\dots,a_{2n}$ de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que para todos los enteros $0\leq k\leq n$ y todos los enteros no negativos $m$ , exista un entero $k\leq i\leq 2k$ tal que $\lfloor k/2^m\rfloor=a_i.$ Andrew Carratu

1 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cortan en $E$ . Las circunferencias circunscritas de $ADE$ y $BCE$ cortan a $\overline{AB}$ nuevamente en $P \neq A$ y $Q \neq B$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ACP$ corta a $\overline{AD}$ nuevamente en $R \neq A$ , y la circunferencia circunscrita de $BDQ$ corta a $\overline{BC}$ nuevamente en $S \neq B$ . Demuestre que $A$ , $B$ , $R$ y $S$ son concíclicos. Tiger Zhang

12.4 Llame a un entero positivo $m$ $\textit{good}$ si existen enteros $a, b, c$ que satisfacen $m=a^3+2b^3+4c^3-6abc$ . Demuestre que existe un entero positivo $n<2024$ tal que, para infinitos primos $p$ , el número $np$ es $\textit{good}$ .

2 Para enteros positivos $a$ y $b$ , una mezcla $(a,b)$ de una baraja de $a+b$ cartas es cualquier mezcla que preserve el orden relativo de las $a$ cartas superiores y el orden relativo de las $b$ cartas inferiores. Sean $n$ , $k$ , $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_k$ , $b_1$ , $b_2$ , $\dots$ , $b_k$ enteros positivos fijos tales que $a_i+b_i=n$ para todo $1\leq i\leq k$ . Big Bird tiene una baraja de $n$ cartas y realizará una mezcla $(a_i,b_i)$ para cada $1\leq i\leq k$ , en orden ascendente de $i$ . Suponga que Big Bird puede invertir el orden de la baraja. Demuestre que Big Bird también puede lograr cualquiera de las $n!$ permutaciones de las cartas. Linus Tang

El cuadrado $ABCD$ es cortado por un segmento $EF$ en dos rectángulos $AEFD$ y $BCFE$ . Las longitudes de los lados de cada uno de estos rectángulos son enteros positivos. Se sabe que el área del rectángulo $AEFD$ es $30$ y que es mayor que el área del rectángulo $BCFE$ . Halle el área del cuadrado $ABCD$ . Propuesto por Bogdan Rublov

7 Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $A$ y $B$ son matrices invertibles de $n \times n$ con entradas complejas tales que $A+B=I$ (donde $I$ es la matriz identidad) y \[(A^2+B^2)(A^4+B^4)=A^5+B^5.\] Halle todos los valores posibles de $\det(AB)$ para el $n$ dado.

3 ¿Para qué enteros positivos $n$ existe una matriz de $n \times n$ , $A$ , cuyas entradas están todas en $\{0,1\}$ , tal que $A^2$ es la matriz de todos unos?

8 Defina la sucesión $x_1,x_2,\dots$ por los términos iniciales $x_1=2, x_2=4$ y la relación de recurrencia \[x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n+\frac{2^n}{x_n} \quad \text{for} \quad n \ge 1.\] Demuestre que $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n}$ existe y satisface \[\frac{1+\sqrt{3}}{2} \le \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n} \le \frac{3}{2}.\]