Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las siguientes dos afirmaciones se cumple: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todos los subconjuntos finitos $F$ de $S$ .

2 Halle todos los polinomios $P(x, y)$ con coeficientes reales que, para todos los números reales $x$ e $y$ , satisfacen $P(x + y, x - y) = 2P(x, y)$ .

Demuestre que no existen números naturales $a_1, a_2, \dots, a_{2018}$ tales que los números \[ (a_1)^{2018}+a_2, (a_2)^{2018}+a_3, \dots, (a_{2018})^{2018}+a_1 \] sean todos potencias de $5$ Propuesto por Tejaswi Navilarekallu

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y circuncentro $O$ . Suponga que $AB < AC$ . Sea $H$ el ortocentro y $I$ el incentro del triángulo $ABC$ . Sea $F$ el punto medio del arco $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ , que contiene a $H$ . Sea $X$ un punto sobre el arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$ , tal que $\angle AXH = \angle AFH$ . Sea $K$ el circuncentro del triángulo $XIA$ . Demuestre que las rectas $AO$ y $KI$ se intersecan sobre $\Gamma$ . Propuesto por Anant Mudgal

Determine todos los polinomios mónicos no constantes $f(x)$ con coeficientes enteros para los cuales existe un número natural $M$ tal que para todo $n \geq M$ , $f(n)$ divide a $f(2^n) - 2^{f(n)}$ Propuesto por Anant Mudgal

Sea $O$ el circuncentro, y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario sobre $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y de sus antípodas en $\Omega$ . Denote los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las rectas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la recta $OP$ .

Determine todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

3 Hay $2019$ monedas sobre una mesa. Algunas están colocadas con la cara hacia arriba y otras con la cruz hacia arriba. Un grupo de $2019$ personas realiza las siguientes operaciones: la primera persona elige una moneda cualquiera y la voltea, la segunda persona elige dos monedas cualesquiera y las voltea, y así sucesivamente, y la persona $2019$ - ésima voltea todas las monedas. Demuestre que sin importar qué lados estén hacia arriba inicialmente, las $2019$ personas pueden idear un procedimiento para voltear las monedas tal que al final de las operaciones todas las monedas tengan el mismo lado hacia arriba.

1 Sea $n$ un entero positivo divisible por $4$ . Halle el número de permutaciones $\sigma$ de $(1,2,3,\cdots,n)$ que satisfacen la condición $\sigma(j)+\sigma^{-1}(j)=n+1$ para todo $j \in \{1,2,3,\cdots,n\}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=\angle C=30^{\circ}.$ Los puntos $D,E,F$ se eligen sobre los lados $AB,BC,CA$ respectivamente de modo que $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p$ y $p_1$ los perímetros de los triángulos $ABC$ y $DEF$ , respectivamente. Demuestre que $p\le 2p_1.$ ayan.nmath