2018.5 El triángulo $ABC$ tiene ángulo $BAC = 80^o$ y ángulo $ACB = 40^o$ . $D$ es un punto sobre el rayo $BC$ más allá de $C$ tal que $CD =AB +BC +CA$ . Halle el ángulo $ADB$ .

2019.5 Halle las longitudes de los lados de $\vartriangle ABC$ de perímetro $28$ , si una de sus medianas es dividida por su circunferencia inscrita en tres partes iguales.

2020.4 $\vartriangle ABC$ tiene un ángulo recto en $A$ . El punto $D$ está sobre $AB$ , entre $A$ y $B$ , tal que $3\angle ACD = \angle ACB$ y $BC = 2BD$ . Halle la razón $DB/ DA$ .

2021.5 Se da un triángulo $ABC$ y sean $C_B$ , $C_C$ las circunferencias que pasan por $A$ y son tangentes a $BC$ en $B$ y $C$ , respectivamente. Sea $r$ el radio de la circunferencia tangente a $C_B$ , $C_C$ y a $BC$ en un punto entre $B$ y $C$ . Si $R$ es el radio de la circunferencia que pasa por $A,B,C$ , demuestre que $r \le \frac{R}{4}$ y precise cuándo ocurre la igualdad.

2022.4 Sea $B$ un punto del segmento $AC$ tal que $B \ne A$ y $B A < BC$ . El punto $M$ está sobre la mediatriz de $AC$ tal que $\angle AMB$ es lo más grande posible. Halle $\angle BMC$ .

2023.5 En el triángulo acutángulo $ABC$ , $M$ es el punto medio de $BC $ . Las rectas tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia que pasa por todos los vértices de $\vartriangle ABC$ se intersecan en el punto $T$ . Demuestre que $AT = 2 AM$ si y solo si $\angle A = 60^o$ .

2024.5 En el triángulo $ABC$ con $M$ el punto medio de $BC$ , $\angle B = 30^o$ , $\angle A = 45^o$ y $AM = 1$ . Halle el perímetro de $\vartriangle ABC$ .

2025.5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle D AB = \angle CB A$ . La bisectriz de $\angle BCD$ corta al segmento $AB$ en el punto $E$ . (a) Demuestre que si $\angle CED = 90^o$ entonces $CD = AD +BC$ . (b) Demuestre que si $CD = AD +BC$ entonces $\angle CED = 90^o$

1 Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones $f \colon \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ tales que para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , \[f^m(n)+f(mn)=f(m)f(n).\] Nota: $f^m(n)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{m\text{ times}}(n)\cdots))$ , es decir, $f$ aplicada $m$ veces a $n$ . Seongjin Shim

2 Un concurso tiene $2025$ problemas. Elmo sabe inicialmente que las respuestas son $1$ , $2$ , $\dots$ , $2025$ en algún orden. Cada minuto, Elmo elige un problema que no ha sido respondido correctamente, introduce una respuesta y se le dice si la respuesta es correcta o incorrecta. Elmo gana el concurso si y solo si responde correctamente los $2025$ problemas con a lo sumo $2024$ intentos cada uno. ¿Puede Elmo garantizar que gana el concurso? Andrew Lin and Calvin Wang