11.3 Tenemos \( n \) fichas que inicialmente están colocadas en la recta numérica en la posición 0. En cada movimiento, seleccionamos una posición \( x \in \mathbb{Z} \) donde haya al menos dos fichas; tomamos dos de estas fichas, luego colocamos una en \( x-1 \) y la otra en \( x+1 \). a) Demuestra que después de un número finito de movimientos, sin importar cómo se elijan los movimientos, llegaremos a una posición final donde no haya dos fichas ocupando el mismo número en la recta numérica. b) Para cada posición final posible, sea \( \Delta \) la diferencia entre los números donde están ubicadas las fichas más a la derecha y más a la izquierda. Encuentra todos los valores posibles de \( \Delta \) en términos de \( n \).

Hay $2025$ enteros positivos $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ colocados alrededor de un círculo. Para cualquier $k = 1, 2, \cdots, 2025$, se cumple que $a_k \mid a_{k-1} + a_{k+1}$, donde los índices se consideran módulo $n$. Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que se satisface la siguiente condición. (Condición) Para cualquier entero positivo $n > N$, cuando $a_1 = n^n$, todos los $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ son múltiplos de $n$.

En el campeonato de fútbol de la Facultad de Cibernética participaron \( n \geq 3 \) equipos. La competencia se realizó en formato de todos contra todos, es decir, cada equipo jugó contra cada uno de los demás exactamente una vez. Por una victoria, un equipo obtiene 3 puntos, por una derrota no se otorgan puntos, y por un empate, ambos equipos reciben 1 punto cada uno. Resultó que el equipo ganador obtuvo estrictamente más puntos que cualquier otro equipo y tuvo como máximo tantas victorias como derrotas. ¿Cuál es el menor \( n \) para el cual esto podría ocurrir? Propuesto por Bogdan Rublov

Determina todas las ternas de enteros positivos $(p,m,n)$ tales que $p$ es primo, $m \neq n < 2p$ y $2 \nmid n$. Además, el siguiente polinomio es reducible en $\mathbb{Z}[x]$ $$x^{2p} - 2px^m - p^2x^n - 1$$

Encuentra todas las ternas de enteros positivos \( a, b, c \) que satisfacen la ecuación: \[ a + \frac{1}{b + \frac{1}{c}} = 20.25. \]

¿Es posible escribir los enteros positivos del $1$ al $2025$ en las celdas de una cuadrícula de \( 45 \times 45 \) de modo que cada número se use exactamente una vez, y al mismo tiempo, cada número escrito sea mayor que todos los números ubicados en sus celdas adyacentes por lado o menor que todos los números ubicados en sus celdas adyacentes por lado? Propuesto por Anton Trygub

$n$ asistentes parten simultáneamente desde un mismo vértice de un planeta con forma de cubo de arista $1$. Cada asistente se mueve a lo largo de las aristas del cubo a una velocidad constante de $2, 4, 8, \cdots, 2^n$, y solo puede cambiar de dirección en los vértices del cubo. Los asistentes pueden cruzarse entre sí en los vértices, pero si chocan en cualquier punto que no sea un vértice, explotarán. Determina el valor máximo posible de $n$ tal que los asistentes puedan moverse infinitamente sin colisiones.

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ con centro $O$, y el círculo $A$-inmixtilíneo es tangente a $AB$, $AC$, $\omega$ en $D$, $E$, $T$ respectivamente. $P$ es la intersección de $TO$ y $DE$, y $X$ es la intersección de $AP$ y $\omega$. Demuestra que el conjugado isogonal de $P$ yace sobre la recta que pasa por el punto medio de $BC$ y $X$.

¿Cuál es el entero positivo más pequeño \( n > 3 \) para el cual no existe un \( n \)-ágono (no necesariamente convexo) tal que todas sus diagonales tengan longitudes iguales? Una diagonal de cualquier polígono se define como un segmento que conecta cualesquiera dos vértices no adyacentes del polígono. Propuesto por Anton Trygub.

Igual que en 7.4.