1 Una casa tiene un número par de lámparas distribuidas entre sus habitaciones de tal manera que hay al menos tres lámparas en cada habitación. Cada lámpara comparte un interruptor con exactamente otra lámpara, no necesariamente de la misma habitación. Cada cambio en el interruptor compartido por dos lámparas cambia sus estados simultáneamente. Demuestre que para todo estado inicial de las lámparas existe una sucesión de cambios en algunos de los interruptores al final de la cual cada habitación contiene lámparas encendidas y también lámparas apagadas. Propuesto por Australia

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , sean $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde los puntos $A$ , $B$ , $C$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, y sean $P$ , $Q$ , $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde los puntos $A$ , $B$ , $C$ a las rectas $EF$ , $FD$ , $DE$ , respectivamente. Demuestre que $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$ , donde $p\left(T\right)$ denota el perímetro del triángulo $T$ . Propuesto por Hojoo Lee, Corea Amir.S

1 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ , $ e$ , $ f$ enteros positivos y sea $ S = a+b+c+d+e+f$ . Suponga que el número $ S$ divide a $ abc+def$ y a $ ab+bc+ca-de-ef-df$ . Demuestre que $ S$ es compuesto.

2 Cuatro números reales $ p$ , $ q$ , $ r$ , $ s$ satisfacen $ p+q+r+s = 9$ y $ p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}= 21$ . Demuestre que existe una permutación $ \left(a,b,c,d\right)$ de $ \left(p,q,r,s\right)$ tal que $ ab-cd \geq 2$ .

3 Supongamos que tenemos un $n$ - gono. Algunas $n-3$ diagonales están coloreadas de negro y otras $n-3$ diagonales están coloreadas de rojo (un lado no es una diagonal), de modo que no hay dos diagonales del mismo color que se puedan intersecar estrictamente dentro del polígono, aunque pueden compartir un vértice. Halle el número máximo de puntos de intersección entre diagonales de colores distintos estrictamente dentro del polígono, en términos de $n$ . Propuesto por Alexander Ivanov, Bulgaria

1 ¿Existe un número natural $n$ en cuya representación decimal cada dígito aparece al menos $2006$ veces y que tiene la propiedad de que se pueden encontrar dos dígitos diferentes en su representación decimal tales que el número obtenido de $n$ intercambiando estos dos dígitos es diferente de $n$ y tiene el mismo conjunto de divisores primos que $n$ ?

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una recta variable $g$ que pasa por el vértice $A$ interseca los rayos $BC$ y $DC$ en los puntos $X$ y $Y$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los $A$ - excentros de los triángulos $ABX$ y $ADY$ . Demuestre que el ángulo $\measuredangle KCL$ es independiente de la recta $g$ . Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

2 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ para todos los números reales $ x$ y $ y$ . Propuesto por B.J. Venkatachala, India andre.l

1 Sea $n\geq 3$ un entero fijo. Cada lado y cada diagonal de un $n$ - gono regular está etiquetado con un número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ de manera que se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Cada número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ aparece al menos una vez como etiqueta. 2. En cada triángulo formado por tres vértices del $n$ - gono, dos de los lados están etiquetados con el mismo número, y este número es mayor que la etiqueta del tercer lado. (a) Halle el $r$ máximo para el cual tal etiquetado es posible. (b) Versión más difícil (IMO Shortlist 2005): Para este valor máximo de $r$ , ¿cuántos etiquetados de este tipo hay? Versión más fácil (5th German TST 2006) - contiene la respuesta a la versión más difícil Versión más fácil (5th German TST 2006): Demuestre que, para este valor máximo de $r$ , hay exactamente $\frac{n!\left(n-1\right)!}{2^{n-1}}$ etiquetados posibles. Propuesto por Federico Ardila, Colombia

2 Halle todos los enteros positivos $ n$ tales que existe un único entero $ a$ con $ 0\leq a < n!$ que tiene la siguiente propiedad: \[ n!\mid a^n + 1 \] Propuesto por Carlos Caicedo, Colombia Nima Ahmadi