3 Halle todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tales que: $$f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ .

1 Halle todos los enteros positivos $(x,y)$ tales que $x^2+y^2=2017(x-y)$

1 Sean $a, b,c$ números reales positivos. Demuestre que $ \sqrt{a^3b+a^3c}+\sqrt{b^3c+b^3a}+\sqrt{c^3a+c^3b}\ge \frac43 (ab+bc+ca)$

2 El conjunto $A$ consiste de números naturales tales que estos números pueden expresarse como $2x^2+3y^2,$ donde $x$ y $y$ son enteros. $(x^2+y^2\not=0)$ $a)$ Demuestre que no hay ningún cuadrado perfecto en el conjunto $A.$ $b)$ Demuestre que el producto de un número impar de elementos del conjunto $A$ no puede ser un cuadrado perfecto.

1 Determine todos los enteros \( x \) para los cuales la expresión \( x^2 + 10x + 160 \) es un cuadrado perfecto.

3 $k$ es un entero positivo. La empresa $A$ tiene un método especial para vender relojes. Cada cliente puede recomendar a dos clientes después de haber comprado él mismo un reloj $;$ no está permitido recomendar a una persona ya recomendada. Estos nuevos clientes pueden recomendar a otras dos personas y así sucesivamente. Si ambos clientes recomendados por una persona pudieron desempeñar un papel (directa o indirectamente) en la compra de relojes por parte de al menos $k$ clientes, esta persona recibe un regalo. Demuestre que, si $n$ personas han comprado relojes, entonces a lo sumo $\frac{n}{k+2}$ regalos han sido aceptados.

3 $a,b$ son enteros positivos y $(a!+b!)|a!b!$ . Demuestre que $3a\ge 2b+2$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Una circunferencia $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

4 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ y se los anuncia al líder adjunto y a un concursante. El líder le dice entonces en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) Al concursante se le permite mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de conjeturas (en términos de $n$ y $k$ ) necesario para garantizar la respuesta correcta?

2 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que todos los enteros positivos menores o iguales que $n$ y coprimos con $n$ son coprimos dos a dos.