1 En un triángulo no equilátero $ABC$ los lados $a,b,c$ forman una progresión aritmética. Sea $I$ el incentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . Demuestre que (1) $IO$ es perpendicular a $BI$ ; (2) Si $BI$ corta a $AC$ en $K$ , y $D$ , $E$ son los puntos medios de $BC$ , $BA$ respectivamente, entonces $I$ es el circuncentro del triángulo $DKE$ .

6 Suponga que $a$ y $b$ son dos números reales positivos tales que las raíces de la ecuación cúbica $x^3 - ax + b = 0$ son todas reales. Si $\alpha$ es una raíz de este cúbico con valor absoluto mínimo, demuestre que \[ \dfrac{b}{a} < \alpha < \dfrac{3b}{2a}. \]

1 a) Dado cualquier entero positivo $n$ , muestre que existen enteros positivos distintos $x$ y $y$ tales que $x + j$ divide a $y + j$ para $j = 1 , 2, 3, \ldots, n$ ; b) Si para algunos enteros positivos $x$ y $y$ , $x+j$ divide a $y+j$ para todo entero positivo $j$ , demuestre que $x = y$ .

2 Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos concéntricos en el plano con radios $R$ y $3R$ , respectivamente. Muestre que el ortocentro de cualquier triángulo inscrito en el círculo $C_1$ se encuentra en el interior del círculo $C_2$ . Recíprocamente, muestre que todo punto del interior de $C_2$ es el ortocentro de algún triángulo inscrito en $C_1$ .

4 Sea $X$ un conjunto que contiene $n$ elementos. Halle el número de ternas ordenadas $(A,B, C)$ de subconjuntos de $X$ tales que $A$ es un subconjunto de $B$ y $B$ es un subconjunto propio de $C$ .

5 Defina una sucesión $(a_n)_{n \geq 1}$ mediante $a_1 =1$ y $a_2 =2$ y $a_{n+2} = 2 a_{n+1} - a_n + 2$ para $n \geq 1$ . Demuestre que para cualquier $m$ , $a_m a_{m+1}$ es también un término de esta sucesión.

6 Hay un arreglo (matriz) $2n \times 2n$ formado por $0's$ y $1's$ y hay exactamente $3n$ ceros. Muestre que es posible eliminar todos los ceros suprimiendo $n$ filas y $n$ columnas.

2 Jane escribe $2024$ números naturales alrededor del perímetro de un círculo. Ella quiere que los $2024$ productos de pares de números adyacentes sean exactamente el conjunto $\{ 1!, 2!, \ldots, 2024! \}.$ ¿Puede lograrlo?

2 Determine todas las soluciones enteras $(x,y)$ de la siguiente ecuación $$\frac{x^2-4}{2x-1}+\frac{y^2-4}{2y-1}=x+y$$

3 Si $a,b,c$ son tres números reales y \[ a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = t \] para algún número real $t$ , demuestre que $abc + t = 0 .$