5 Una función $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos se llama canadiense si satisface $$\gcd\left(f(f(x)), f(x+y)\right)=\gcd(x, y)$$ para todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ . Halle todos los enteros positivos $m$ tales que $f(m)=m$ para todas las funciones canadienses $f$ .

1 Sea $a_1, a_2, a_3, . . .$ una sucesión de números reales positivos que satisface $a_1 = 1$ y $a^2_{n+1} + a_{n+1} = a_n$ para todo número natural $n$ . Demuestre que $a_n \ge \frac{1}{n}$ para todo número natural $n$ .

4 $ABCD$ es un rombo fijo. El segmento $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita de $ABCD$ , donde $P$ está sobre el lado $AB$ y $Q$ sobre el lado $AD$ . Muestre que, cuando el segmento $PQ$ se mueve, el área de $\Delta CPQ$ es constante.

5 Hay una cantidad finita de monedas en la cartera de David. Los valores de estas monedas son enteros positivos distintos dos a dos. ¿Es posible crear una cartera tal que David tenga exactamente $2020$ maneras diferentes de seleccionar monedas de su cartera de modo que la suma de las monedas seleccionadas sea $2020$ ?

3 Hay $n \ge 3$ números reales positivos distintos. Muestre que hay a lo sumo $n-2$ potencias enteras de tres distintas que pueden escribirse como la suma de tres elementos distintos de estos $n$ números.

1 Halle todos los pares de números primos positivos $(p, q)$ tales que $$p^5 + p^3 + 2 = q^2 - q.$$

2 Considere números reales no negativos $a, b, c$ que satisfacen la condición $a^2 + b^2 + c^2 = 2$ . Halle el valor máximo de la siguiente expresión $$P=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{3-a}+\frac{\sqrt{c^2+a^2}}{3-b}+a+b-2022c$$

3 Sean $BB_1$ y $CC_1$ las alturas del triángulo acutángulo $ABC$ , y $A_0$ el punto medio de $BC$ . Las rectas $A_0B_1$ y $A_0C_1$ cortan a la recta que pasa por $A$ y es paralela a $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ . Demuestre que el incentro del triángulo $PA_0Q$ está sobre la altura del triángulo $ABC$ .

4 Usted planea organizar su fiesta de cumpleaños, a la que asistirán exactamente $m$ personas o exactamente $n$ personas (no está seguro en este momento). Tiene un gran pastel de cumpleaños y quiere dividirlo en varias partes (no necesariamente iguales), de modo que pueda distribuir todo el pastel entre las personas que asistan a la fiesta, recibiendo todos una porción de igual masa (sin embargo, uno puede recibir una porción grande, mientras que otros reciben varias porciones pequeñas; los tamaños de las porciones pueden diferir). ¿Cuál es el número mínimo de partes en que necesita dividir el pastel para que esto sea posible, independientemente del número de invitados?

1 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $p$ , donde $p$ es un número primo, tales que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .