Un conjunto formado por $n$ puntos de un plano se llama un $n$-punto isósceles si cualesquiera tres de sus puntos están ubicados en los vértices de un triángulo isósceles. Encuentra todos los números naturales para los cuales existen $n$-puntos isósceles.

7 Encuentra una función continua $f(x)$ que satisfaga la identidad $f(x)-f(ax)=x^n-x^m$, donde $n,m\in N , 0<a<1$

Dentro del triángulo \(ABC\) se da un punto \(M\). Encuentra los puntos \(P, Q\) y \(R\) que se encuentran sobre los lados \(AB, BC\) y \(AC\) respectivamente, de modo que la suma \(MP + PQ + QR + RM\) sea la más pequeña.

1. Cada punto con coordenadas enteras en el plano está coloreado de blanco o azul. Demuestra que se puede elegir un color tal que para todo entero positivo $ n $ exista un triángulo de área $ n $ cuyos vértices sean del color elegido.

2 Dentro del triángulo \( ABC \) se da un punto \( M \). La recta \( BM \) corta al lado \( AC \) en \( N \). El punto \( K \) es simétrico a \( M \) respecto a \( AC \). La recta \( BK \) corta a \( AC \) en \( P \). Si \( \angle AMP = \angle CMN \), demuestra que \( \angle ABP = \angle CBN \).

3 Encuentra todas las funciones \( f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que \( f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy) \), para todo \( x,y \in \mathbb{R} \).

1 Determina el máximo entero \( n \) tal que para cada entero positivo \( k \le \frac{n}{2} \) existen dos divisores positivos de \( n \) cuya diferencia es \( k \).

2 Alice y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alice y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan turnos, yendo Alice primero. Alice decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador cuyo turno es mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alice, y el de Alice es evitarlo. Nota que las posiciones de A y B son visibles para ambos en todo momento. Suponiendo que ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alice puede evadir a Bob indefinidamente? Propuesto por Shashank Ingalagavi y Vighnesh Sangle

2 Sea \( A_n \) el conjunto de particiones de la sucesión \( 1,2,\ldots,n \) en varias subsucesiones tales que cada dos términos vecinos de cada subsucesión tienen paridad distinta, y \( B_n \) el conjunto de particiones de la sucesión \( 1,2,\ldots,n \) en varias subsucesiones tales que todos los términos de cada subsucesión tienen la misma paridad (por ejemplo, la partición \( \{(1,4,5,8),(2,3),(6,9),(7)\} \) es un elemento de \( A_9 \), y la partición \( \{(1,3,5),(2,4),(6)\} \) es un elemento de \( B_6 \)). Demuestra que para todo entero positivo \( n \) los conjuntos \( A_n \) y \( B_{n+1} \) contienen el mismo número de elementos.

3 El área de un pentágono convexo $ABCDE$ es $S$, y los circunradios de los triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ son $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$, $R_5$. Demuestra la desigualdad \[ R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq {4\over 5\sin^2 108^\circ}S^2. \]