4 Sean $OFT$ y $NOT$ dos triángulos semejantes (con la misma orientación) y sea $FANO$ un paralelogramo. Muestre que \[\vert OF\vert \cdot \vert ON\vert=\vert OA\vert \cdot \vert OT\vert.\]

1 Determine todos los números reales $a,b,c$ y $d$ con la siguiente propiedad: los números $a$ y $b$ son raíces distintas de $2x^2-3cx+8d$ y los números $c$ y $d$ son raíces distintas de $2x^2-3ax+8b$ .

2 Sean $a$ y $b$ dos circunferencias que se intersecan en dos puntos distintos $Y$ y $Z$ . Una circunferencia $k$ es tangente exteriormente a las circunferencias $a$ y $b$ en los puntos $A$ y $B$ . Muestre que las bisectrices de los ángulos $\angle ZAY$ y $\angle YBZ$ se intersecan sobre la recta $YZ$ .

3 En el plano cartesiano considere rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Decimos que un rectángulo está debajo de otro rectángulo si existe una recta $g$ paralela al eje $x$ tal que el primer rectángulo está debajo de $g$ , el segundo está arriba de $g$ y ambos rectángulos no tocan a $g$ . De manera similar, decimos que un rectángulo está a la derecha de otro rectángulo si existe una recta $h$ paralela al eje $y$ tal que el primer rectángulo está a la derecha de $h$ , el segundo está a la izquierda de $h$ y ambos rectángulos no tocan a $h$ . Muestre que todo conjunto finito de $n$ rectángulos disjuntos dos a dos, con lados paralelos a los ejes de coordenadas, puede enumerarse como una sucesión $(R_1,\dots,R_n)$ de modo que, para todos los índices $i,j$ con $1 \le i<j \le n$ , el rectángulo $R_i$ esté a la derecha de o debajo del rectángulo $R_j$ .

4 Muestre que para cada entero no negativo $n$ existen enteros no negativos únicos $x$ e $y$ tales que se tiene \[n=\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}.\]

5 Se nos dan dos enteros positivos $p$ y $q$ . Paso a paso, una cuerda de longitud $1$ se corta en trozos más pequeños de la siguiente manera: en cada paso, todos los trozos actualmente más largos se cortan, al mismo tiempo, en dos trozos con la razón $p:q$ . Después de un número desconocido de tales operaciones, los trozos actualmente más largos tienen longitud $x$ . Determine, en términos de $x$ , el número $a(x)$ de longitudes diferentes de trozos de cuerda que existen en ese momento.

6 Suponga que los números reales $x,y$ y $z$ satisfacen las siguientes ecuaciones: \begin{align*} x+\frac{y}{z} &=2,\\ y+\frac{z}{x} &=2,\\ z+\frac{x}{y} &=2. \end{align*} Muestre que $s=x+y+z$ debe ser igual a $3$ o $7$ . Nota: no se requiere mostrar la existencia de tales números $x,y,z$ .

1 Halle todos los números reales $x,y,z$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*} xy+z&=-30\\ yz+x &= 30\\ zx+y &=-18 \end{align*}

2 Se nos da un tetraedro con dos aristas de longitud $a$ y las cuatro aristas restantes de longitud $b$ , donde $a$ y $b$ son números reales positivos. ¿Cuál es el rango de valores posibles para la razón $v=a/b$ ?

3 Dado un entero positivo $n$ , Susann llena un cuadrado de $n \times n$ casillas. En cada casilla inscribe un entero, procurando que cada fila y cada columna contenga números distintos. Después aparece un duende y destruye algunas de las casillas. Demuestre que Susann puede elegir algunas de las casillas restantes y colorearlas de rojo, satisfaciendo las dos condiciones siguientes: 1) No hay dos casillas rojas en la misma columna ni en la misma fila. 2) Para cada casilla que no esté ni destruida ni coloreada, hay una casilla roja con un número mayor en la misma fila o una casilla roja con un número menor en la misma columna. Propuesto por Christian Reiher