7 Sea $ABCD$ un cuadrado fijo y $K$ un punto variable sobre el segmento $AD$ . El cuadrado $KLMN$ se construye de modo que $B$ esté sobre el segmento $LM$ y $C$ sobre el segmento $MN$ . Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $LA$ y $ND$ . Halle el lugar geométrico de $T$ a medida que $K$ varía a lo largo del segmento $AD$ .

8 Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$ , definimos $f_m(n)$ como sigue: $$ f_m(n) = \gcd(n, d_1) + \gcd(n, d_2) + \cdots + \gcd(n, d_k), $$ donde $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = m$ son todos los divisores positivos de $m$ . Por ejemplo, $f_4(6) = \gcd(6,1) + \gcd(6,2) + \gcd(6,4) = 5$ . $a)\:$ Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $f_{2017}(n) = f_n(2017)$ . $b)\:$ Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $f_6(n) = f_n(6)$ .

9 Halle el mayor valor posible del entero positivo $N$ sabiendo que existen enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_N$ que satisfacen $$ a_n = \sqrt{(a_{n-1})^2 + 2018 \, a_{n-2}}\:, \quad \text{for } n = 3,4,\dots,N. $$

10 Sea $n$ un entero positivo. Alex juega en una fila de 9 casillas como sigue. Inicialmente, todas las casillas están vacías. En cada turno, Alex debe realizar exactamente uno de los siguientes movimientos: $(i)\:$ Elegir un número de la forma $2^j$ , con $j$ un entero no negativo, y colocarlo en una casilla vacía. $(ii)\:$ Elegir dos casillas (no necesariamente consecutivas) que contengan el mismo número, digamos $2^j$ . Reemplazar el número de una de las casillas por $2^{j+1}$ y borrar el número de la otra casilla. Al final del juego, una casilla contiene el número $2^n$ , mientras que las demás casillas están vacías. Determine, en función de $n$ , el número máximo de turnos que Alex puede realizar.

¿Cuántos múltiplos de $11$ de cuatro dígitos, de la forma $\overline{abcd}$ , satisfacen que $a\neq b, b\neq c$ y $c\neq a$ ?

Sea $\omega$ una circunferencia. Para cada $n$ , sea $A_n$ el área de un polígono regular de $n$ lados circunscrito a $\omega$ y $B_n$ el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en $\omega$ . Demuestre que $3A_{2015} + B_{2015}> 4A_{4030}$

Diez estudiantes están sentados alrededor de una mesa circular. El profesor tiene una lista de quince problemas y a cada estudiante se le asignan seis problemas, de tal manera que cada problema se asigna exactamente cuatro veces y cualesquiera dos estudiantes tienen a lo sumo tres problemas en común. Demuestre que, sin importar cómo distribuya el profesor los problemas, siempre habrá dos estudiantes sentados uno junto al otro que tengan al menos un problema en común.

Sea $n$ un entero positivo. Andrés tiene $n+1$ tarjetas y en cada una de ellas está escrito un entero positivo, de tal manera que la suma de los $n+1$ números es $3n$ . Demuestre que Andrés puede colocar una o más tarjetas en una caja roja y una o más tarjetas en una caja azul, de tal manera que la suma de los números de las tarjetas de la caja roja sea igual al doble de la suma de los números de las tarjetas de la caja azul. Aclaración: Algunas de las tarjetas de Andrés pueden quedar fuera de las cajas.

Sea $ABCD$ un paralelogramo, sean $X$ y $Y$ puntos en los segmentos $AB$ y $CD$ , respectivamente. Los segmentos $AY$ y $DX$ se intersecan en $P$ , y los segmentos $BY$ y $DX$ se intersecan en $Q$ . Demuestre que la recta $PQ$ pasa por un punto fijo (independiente de las posiciones de los puntos $X$ y $Y$ ). Sospecho que el punto fijo es el punto medio de $BD$ .

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ , que tienen centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, se intersecan en $A$ y $B$ . Una recta $\ell$ que pasa por $B$ corta nuevamente a $\omega_1$ en $C$ y corta nuevamente a $\omega_2$ en $D$ , de modo que los puntos $C, B, D$ aparecen en ese orden. Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, se intersecan en $E$ . La recta $AE$ interseca nuevamente la circunferencia circunscrita del triángulo $AO_1O_2$ en $F$ . Demuestre que la longitud del segmento $EF$ es constante, es decir, no depende de la elección de $\ell$ .