4 Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función tal que $f(0) = 0$ . Suponga que $|f(z) - f(w)| = |z - w|$ para todo $w \in \{0, 1, i\}$ y $z \in \mathbb{C}$ . Demuestre que $f(z) = \alpha z$ o $f(z) = \alpha \bar{z}$ para algún $\alpha \in \mathbb{C}$ con $|\alpha| = 1$ .

$ P$$ P$$ P$$ P$

2 Suponga que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función no constante que satisface $f(x+y) = f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . Demuestre que: $f(x) \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; si $f$ es diferenciable en $0$ , entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y existe un número real $\beta$ tal que $f(x) = \beta^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ .

2 Sean $p, q$ y $r$ números reales con $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ . (a) Demuestre la desigualdad \[ 3p^2q + 3p^2r + 2q^3 + 2r^3 \le 2. \] (b) Halle también el menor valor posible de $3p^2q + 3p^2r + 2q^3 + 2r^3$ . Especifique exactamente cuándo se alcanzan el menor y el mayor valor posible.

5 Para un entero arbitrario $n$ , sea $g(n)$ el MCD de $2n + 9$ y $6n^2 + 11n - 2$ . ¿Cuál es el mayor entero positivo que se puede obtener como valor de $g(n)$ ? Si $g(n)$ puede ser arbitrariamente grande, dígalo explícitamente y pruébelo.

1. (a) $28$ enteros se eligen del intervalo $[104, 208]$ . Demuestre que existen dos de ellos que tienen un divisor primo común. (b) $AB$ es un segmento de recta. $C$ es un punto de $AB$ . $ACPQ$ y $CBRS$ son cuadrados trazados sobre el mismo lado de $AB$ . Demuestre que $S$ es el ortocentro del triángulo $APB$ . [asy] size(200); import geometry; // Define points on the base line pair A = (0,0); pair B = (8,0); pair C = (3,0); // Squares ACPQ and CBRS pair Q = (0,3); pair P = (3,3); pair S = (3,5); pair R = (8,5); // Draw the squares draw(A--Q--P--C--cycle); draw(C--S--R--B--cycle); // Draw triangle APB draw(A--P, blue); draw(P--B, blue); draw(B--A, blue); // Draw altitude from B to AP to show S lies on it draw(B--S, dashed + gray); // Labels dot("$A$", A, SW); dot("$B$", B, SE); dot("$C$", C, S); dot("$P$", P, NE); dot("$Q$", Q, NW); dot("$R$", R, NE); dot("$S$", S, NW); // Right angle marker to show orthocenter property markrightangle(A,P,B, size=0.2); [/asy] Pi-Infinity

2. (a) $a, b, c$ son números reales distintos tales que $$a^3 = 3(b^2 + c^2) - 25$$ $$b^3 = 3(c^2 + a^2) - 25$$ $$c^3 = 3(a^2 + b^2) - 25$$ Halle el valor numérico de $abc$ . (b) Si $a = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{2015^2}$ , halle $\lfloor a \rfloor$ donde $\lfloor a \rfloor$ denota la parte entera de $a$ . Pi-Infinity

4. $65$ insectos se colocan en casillas distintas de un tablero cuadrado de $9 \times 9$ . Cada insecto se mueve a una casilla adyacente horizontal o vertical. Ningún insecto hace dos movimientos horizontales o dos verticales seguidos. Demuestre que después de algunos movimientos habrá al menos dos insectos en la misma casilla. Pi-Infinity

5. $f(x)$ es un polinomio de quinto grado. Se da que $f(x)+1$ es divisible por $(x-1)^3$ y $f(x)-1$ es divisible por $(x+1)^3$ . Halle $f(x)$ . Pi-Infinity

7. $a, b, c$ son números reales tales que $a+b+c=0$ y $a^2+b^2+c^2=1$ . Demuestre que $a^2b^2c^2 \le \frac{1}{54}$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Pi-Infinity