4 Sea $ n\geq6$ un número natural par. Demuestre que cualquier cubo puede dividirse en $ \dfrac{3n(n-2)}4+2$ cubos.

2 Sean $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos con suma $ 1$ . Halle la parte entera de: $ E=x_1+\dfrac{x_2}{\sqrt{1-x_1^2}}+\dfrac{x_3}{\sqrt{1-(x_1+x_2)^2}}+\cdots+\dfrac{x_n}{\sqrt{1-(x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})^2}}$

3 Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. $ H$ es el ortocentro y $ M$ es el punto medio del lado $ BC$ . Una recta que pasa por $ H$ y es perpendicular a $ HM$ interseca los segmentos $ AB$ y $ AC$ en $ P$ y $ Q$ . Demuestre que $ MP = MQ$

4 En un torneo de ajedrez participan $ 2n+3$ jugadores. Cada dos de ellos juegan exactamente una partida. El calendario es tal que no se juegan dos partidas al mismo tiempo, y cada jugador, después de participar en una partida, queda libre en al menos $ n$ partidas siguientes (consecutivas). Demuestre que uno de los jugadores que juegan en la partida inaugural también jugará en la partida final.

1 Sean $ m,n\in \mathbb{N}^*$ . Halle el menor $ n$ para el cual existe $ m$ , tal que el rectángulo $ (3m + 2)\times(4m + 3)$ puede cubrirse con $ \dfrac{n(n + 1)}{2}$ cuadrados, entre los cuales existen $ n$ cuadrados de lado $ 1$ , $ n - 1$ de lado $ 2$ , $ ...$ , $ 1$ cuadrado de lado $ n$ . Para el valor de $ n$ hallado, dé el ejemplo de recubrimiento.

2 Sean $ m,n\in \mathbb{N}$ , $ n\ge 2$ y números $ a_i > 0$ , $ i = \overline{1,n}$ , tales que $ \sum a_i = 1$ . Demuestre que $ \small{\dfrac{a_1^{2 - m} + a_2 + ... + a_{n - 1}}{1 - a_1} + \dfrac{a_2^{2 - m} + a_3 + ... + a_n}{1 - a_1} + ... + \dfrac{a_n^{2 - m} + a_1 + ... + a_{n - 2}}{1 - a_1}\ge n + \dfrac{n^m - n}{n - 1}}$

4 Sea $ p$ un divisor primo de $ n\ge 2$ . Demuestre que existe un conjunto de números naturales $ A = \{a_1,a_2,...,a_n\}$ tal que el producto de cualesquiera dos números de $ A$ es divisible por la suma de cualesquiera $ p$ números de $ A$ .

1 Para cualquier $ m \in \mathbb{N}^*$ resuelva la ecuación \[ \left\{\left( x + \frac {1}{m}\right) ^3\right\} = x^3 \]

2 Determine todas las funciones $ f : [0; + \infty) \rightarrow [0; + \infty)$ , tales que \[ f(x + y - z) + f(2\sqrt {xz}) + f(2\sqrt {yz}) = f(x + y + z)\] para todo $ x,y,z \in [0; + \infty)$ , para los cuales $ x + y\ge z$ .

3 Una circunferencia $ \Omega_1$ es tangente exteriormente a la circunferencia $ \Omega_2$ de mayor radio. La recta $ t_1$ es tangente en los puntos $ A$ y $ D$ a las circunferencias $ \Omega_1$ y $ \Omega_2$ , respectivamente. La recta $ t_2$ , paralela a $ t_1$ , es tangente a la circunferencia $ \Omega_1$ y corta a $ \Omega_2$ en los puntos $ E$ y $ F$ . El punto $ C$ pertenece a la circunferencia $ \Omega_2$ de modo que $ D$ y $ C$ están separados por la recta $ EF$ . Denote $ B$ la intersección de $ EF$ y $ CD$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $ ABC$ es tangente a la recta $ AD$ .