1 Sean $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ números reales positivos que satisfacen $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = 1$ . Demuestre que \[\left(a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{1}\right)\left(\frac {a_{1}}{a_{2}^2 + a_{2}} + \frac {a_{2}}{a_{3}^2 + a_{3}} + \cdots + \frac {a_{n}}{a_{1}^2 + a_{1}}\right)\ge\frac {n}{n + 1}\] Fang-jh

4 Sean $f(x),g(x)$ dos polinomios con coeficientes enteros. Se sabe que para infinitos primos $p$ , existe un entero $m_p$ tal que $$f(a) \equiv g(a+m_p) \pmod p$$ se cumple para todo $a \in \mathbb{Z}.$ Demuestre que existe un número racional $r$ tal que $$f(x)=g(x+r).$$

3 Demuestre que para todos los números primos impares $p$ existen un número natural $m<p$ y enteros $x_1, x_2, x_3$ tales que: \[mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2.\]

. ¿Es posible colocar números naturales en los vértices de un cubo de modo que para cada par de vértices unidos por una arista, uno de los dos números divida al otro, mientras que para todos los demás pares esta propiedad no se cumpla? P7. Halle el número de soluciones en números naturales de la ecuación \[\left[\frac{x}{10}\right]=\left[\frac{x}{11}\right]+1.\] P8. Demuestre que cualquier función que satisface $f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ es periódica, y halle su período. P9. Un rey se coloca en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez $7\times7$ . Puede moverse una casilla ya sea a la derecha, hacia arriba, o en diagonal hacia arriba a la derecha. ¿De cuántas maneras puede el rey llegar a la esquina superior derecha del tablero si su camino no puede contener celdas situadas por encima de la diagonal principal del tablero? P10. Las diagonales de un paralelogramo $ABCD$ se cortan en el punto $O$ . Demuestre que el punto $O$ y los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $A$ a las rectas $BC$ , $BD$ y $CD$ se encuentran sobre una misma circunferencia.

G8 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Las circunferencias $\omega_{B}$ que pasa por $B$ y $\omega_{C}$ que pasa por $C$ son tangentes en $I$ . Sea $\omega_{B}$ que corta al arco menor $AB$ de $\Gamma$ en $P$ y a $AB$ en $M\neq B$ , y sea $\omega_{C}$ que corta al arco menor $AC$ de $\Gamma$ en $Q$ y a $AC$ en $N\neq C$ . Los rayos $PM$ y $QN$ se cortan en $X$ . Sea $Y$ un punto tal que $YB$ es tangente a $\omega_{B}$ y $YC$ es tangente a $\omega_{C}$ . Demuestre que $A,X,Y$ están alineados.

4 Sea $k$ un entero positivo. Algunos de los subconjuntos de $2k$ elementos de un conjunto dado están marcados. Suponga que para cualquier subconjunto de cardinalidad menor o igual que $(k+1)^2$ , todos los subconjuntos marcados contenidos en él (si los hay) tienen un elemento común. Demuestre que todos los subconjuntos marcados tienen un elemento común.

3 Se dan 10 ecuaciones cuadráticas $x^2+a_1x+b_1=0$ , $x^2+a_2x+b_2=0$ , ..., $x^2+a_{10}x+b_{10}=0$ . Se sabe que cada una de estas ecuaciones tiene dos raíces reales distintas y que el conjunto de todas las soluciones es ${1,2,...10,-1,-2...,-10}$ . Halle el valor mínimo de $b_1+b_2+...+b_{10}$

5 En un sistema de coordenadas rectangulares, llamamos triangular a una recta horizontal paralela al eje $x$ si interseca la curva de ecuación \[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\] en los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) de modo que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestra que las rectas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

14 Un rayo de luz incide sobre $\overline{BC}$ en el punto $C$ con un ángulo de incidencia $\alpha=19.94^\circ$ y se refleja con un ángulo de reflexión igual, como se muestra. El rayo de luz continúa su trayectoria, reflejándose en los segmentos de recta $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ según la regla: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Dado que $\beta=\alpha/10=1.994^\circ$ y $AB=AC,$ determina el número de veces que el rayo de luz rebotará en los dos segmentos de recta. Incluye la primera reflexión en $C$ en tu conteo. [asy] size(250);defaultpen(linewidth(0.7)); real alpha=24, beta=32; pair B=origin, C=(1,0), A=dir(beta), D=C+0.5*dir(alpha); pair EE=2*dir(180-alpha), E=intersectionpoint(C--EE, A--B); pair EEE=reflect(B,A)*EE, EEEE=reflect(C,B)*EEE, F=intersectionpoint(E--EEE, B--C), G=intersectionpoint(F--EEEE, A--B); draw((1.4,0)--B--1.4*dir(beta)); draw(D--C, linetype("4 4"),EndArrow(5)); draw(C--E, linetype("4 4"),EndArrow(5)); draw(E--F, linetype("4 4"),EndArrow(5)); draw(F--G, linetype("4 4"),EndArrow(5)); markscalefactor=0.01; draw(anglemark(C,B,A)); draw(anglemark((1.4,0), C,D)); label("$\beta$", 0.07*dir(beta/2), dir(beta/2), fontsize(10)); label("$\alpha$", C+0.07*dir(alpha/2), dir(alpha/2), fontsize(10)); label("$A$", A, dir(90)*dir(A)); label("$B$", B, dir(beta/2+180)); label("$C$", C, S);[/asy]

2 Halle todos los enteros positivos $N$ que tienen al menos $4$ divisores positivos, tales que la suma de los cuadrados de los $4$ divisores positivos más pequeños de $N$ es igual a $N$ .