8.4 De un papel se recorta un cuadrado de lado $1$ . Construya un segmento de longitud $1/2024$ usando a lo sumo $20$ dobleces. No se dispone de instrumentos. Solo está permitido doblar el papel y marcar los puntos comunes de las líneas de doblez.

9.1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$; sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC, CA, AB$ respectivamente; sean $E_A, E_B, E_C$ los puntos medios de $AH, BH, CH$ respectivamente. La circunferencia con centro en $E_A$ y que pasa por $A$ corta por segunda vez a la bisectriz del ángulo $A$ en $A_2$; los puntos $B_2, C_2$ se definen de manera análoga. Demuestre que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son semejantes.

10.5 La circunferencia inscrita de un triángulo rectángulo $ABC$ es tangente a la hipotenusa $AB$ en el punto $T$ . Los cuadrados $ATMP$ y $BTNQ$ están fuera del triángulo. Demuestre que las áreas de los triángulos $ABC$ y $TPQ$ son iguales.

8.5 Los vértices $M$ , $N$ , $K$ del rectángulo $KLMN$ se encuentran sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CA$ , respectivamente, de un triángulo regular $ABC$ , de tal manera que $AM = 2$ , $KC = 1$ . El vértice $L$ se encuentra fuera del triángulo. Halle el valor de $\angle KMN$ .

8.6 Una circunferencia $\omega$ es tangente a las rectas $a$ y $b$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Una tangente arbitraria a la circunferencia corta a $a$ y $b$ en $X$ y $Y$ , respectivamente. Los puntos $X'$ y $Y'$ son las reflexiones de $X$ y $Y$ respecto de $A$ y $B$ , respectivamente. Halle el lugar geométrico de las proyecciones del centro de la circunferencia sobre las rectas $X'Y'$ .

10.8 Las tangentes comunes a la circunferencia circunscrita y a una circunferencia excrita del triángulo $ABC$ cortan a $BC, CA,AB$ en los puntos $A_1, B_1, C_1$ y $A_2, B_2, C_2$ respectivamente. El triángulo $\Delta_1$ está formado por las rectas $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ , y el triángulo $\Delta_2$ está formado por las rectas $AA_2, BB_2,$ y $CC_2$ . Demuestre que los circunradios de estos triángulos son iguales.

1 Sea $A$ una matriz de $8 \times 3$ en la que cada entrada es $1$ o $-1$ , y no hay dos filas idénticas. Halle el rango de $A$ .

9.8 Sean los puntos $P$ y $Q$ isogonalmente conjugados con respecto a un triángulo $ABC$ . La recta $PQ$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $X$ . La reflexión de $BC$ respecto a $PQ$ corta a $AX$ en el punto $E$ . Demuestre que $A, P, Q, E$ son concíclicos.

9.6 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ con centro en $I$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $A_1, B_1, $ y $C_1$ respectivamente. La circunferencia excrita con centro en $J$ es tangente al lado $AC$ en el punto $B_2$ y es tangente a las prolongaciones de $AB, BC$ en los puntos $C_2, A_2$ respectivamente. Sean las rectas $IB_2$ y $JB_1$ que se cortan en el punto $X$ , las rectas $IC_2$ y $JC_1$ que se cortan en el punto $Y$ , las rectas $IA_2$ y $JA_1$ que se cortan en el punto $Z$ . Demuestre que si uno de los puntos $X, Y, Z$ está sobre la circunferencia inscrita, entonces los otros dos puntos también están sobre ella.

10.3 Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de un triángulo $ABC$ . Demuestre que $2EF \leq BF + CE$ .